Astrophysics and Cosmology - Astrofisica e Cosmologia

I. Onde Gravitazionali: 1. Richiami sulle proprieta' delle onde gravitazionali 2. Radiazione di quadrupolo 2. TT-gauge, calcolo della luminosita' gravitazionale di una sorgente II. Astrofisica delle Onde Gravitazionali: 1. Stelle di neutroni rapidamente rotanti, spin down gravitazionale 2. Pulsar binarie relativistiche 3. Coalescenza di sistemi binari 4. Cenni sui rivelatori di onde gravitazionali III. Struttura delle stelle degeneri: 1. Nane bianche 2. Stelle di neutroni 3. Equazioni della struttura stellare in relativita' generale 4. Criteri di stabilita' 5. Soluzione di Schwarzschild per stelle a densita' costante. 6. Teorema di Buchdal. 7. Soluzione delle equazioni di Einstein per un corpo isolato e stazionario nel "far field limit". 8. Precessione geodetica e di Lense-Thirring dello spin di un giroscopio IV. Buchi neri: 1. Richiami sulla soluzione di Schwarzschild - Ringdown di un buco nero 2. Coordinate di Kruskal 3. Soluzione di Kerr: singolarita', orizzonti, ergosfera. 4. Geodetiche nella metrica di Kerr. 5. Processo di Penrose. V. Principi variazionali ed equazioni di Einstein. Il corso si divide essenzialmente in tre parti. Nella prima parte, dedicata alla generazione e alla rivelazione delle onde gravitazionali, verra’ sviluppato il formalismo di quadrupolo che consente di calcolare le forme d'onda emesse da una sorgente in regime di piccole velocita' e campo debole. Si mostrera’ come tener conto della reazione di radiazione quando un sistema astrofisico emette onde gravitazionali e quali conseguenze questa comporti sull'evoluzione della sorgente e sulle forme d'onda emesse. In particolare si studieranno i sistemi binari formati da stelle di neutroni e buchi neri prossimi alla coalescenza, mettendo a fuoco le caratteristiche principali dei segnali che sono stati rivelati da LIGO e Virgo in anni recenti; si studiera’ inoltre l’emissione gravitazionale di stelle di neutroni rotanti. Nella seconda parte del corso verranno descritte le fasi finali dell'evoluzione di una stella, mostrando come queste siano diverse a seconda della massa della stella progenitrice. Si passera’ quindi a studiare la struttura di una nana bianca, che richiede l’uso della teoria Newtoniana della gravita’, e si introdurra’ il concetto di massa critica. Per descrivere la struttura delle stelle di neutroni e’ invece necessario utilizzare la Relatività Generale e quindi il primo passo sara’ mostrare come vadano modificate le equazioni della Termodinamica in questo ambito. Quindi si mostrerà come si derivano le equazioni della struttura stellare a partire dalle equazioni di Einstein e come si risolvono. La terza parte del corso riguarda lo studio della soluzione di buco nero rotante, la soluzione di Kerr, e dei complessi fenomeni che avvengono nelle vicinanze di questi oggetti celesti. In particolare verra’ studiata la struttura dello spazio tempo di un buco nero rotante, la presenza di singolarità di curvatura, di orizzonti degli eventi, e dell’ergoregion. Verranno studiate le geodetiche di corpi massivi e a massa nulla nella geometria di Kerr e i fenomeni associati, quale ad esempio il processo di Penrose per l’estrazione di energia da un buco nero. In ultimo, a completamento del percorso di studio della Relatività Generale, si mostrera’ come le equazioni di Einstein si possano derivare attraverso un formalismo variazionale.

Per poter seguire con profitto questo corso e' indispensabile conoscere le basi della teoria della relativita' generale di Einstein. Questa materia viene insegnata nel corso di relatività’ generale. Si segnalano i seguenti testi su cui eventualmente colmare la mancanza di conoscenze a riguardo: V. Ferrari, L. Gualtieri, P. Pani, General Relativity and its Applications, CRC Press S. Carrol, Spacetime and Geometry, an Introduction to General Relativity, Addison & Wesley S. Weinberg, Gravitation and Cosmology, Wiley & Sons Einstein-Infeld - "Evolution of physics" Landau-Liftschitz “The Classical Theory of Fields” B. F. Schutz, A first course in general relativity, Cambridge University Press Poisson-Will "Gravity", Cambridge University Press

V. Ferrari, L. Gualtieri, P. Pani, General Relativity and its Applications, CRC Press M. Maggiore, Gravitational Waves Vol I and II, Oxford University Press I. Novikov, V. Frolov, Physics of Black Holes, Springer E. Poisson, C.M. Will, Gravity, Cambridge University Press Per la parte propedeutica di GR: S. Carroll, Spacetime and Geometry, An Introduction to General Relativity, Addison & Wesley S. Weinberg, Gravitation and Cosmology, Wiley & Sons A. Einstein, L. Infeld, Evolution of physics Landau-Liftschitz, The Classical Theory of Fields B. F. Schutz, A first course in general relativity, Cambridge University Press

Questo corso avanzato di gravita' e' dedicato essenzialmente all'acquisizione di conoscenze piu' approfondite delle predizioni della Relativita' Generale, e le lezioni saranno in gran parte frontali. Ci saranno alcune esercitazioni in cui verranno sviluppati ulteriormente argomenti trattati a lezione, e seminari che illustreranno alcuni aspetti osservativi riguardanti fenomeni astrofisici in cui la Relativita' Generale gioca un ruolo importante. Nell'eventualità del protrarsi dell'emergenza COVID-19, il corso si svolgerà a distanza. Tutte le informazioni sul corso sono disponibili sul sito web http://www.roma1.infn.it/teongrav/onde.html

La frequenza è facoltativa ma fortemente consigliata

Nella valutazione si terra' conto di: - correttezza e completezza dei concetti esposti; - chiarezza e rigore espositivo; - capacità di sviluppo analitico della teoria.

V. Ferrari, L. Gualtieri, P. Pani, General Relativity and its Applications, CRC Press M. Maggiore, Gravitational Waves Vol I and II, Oxford University Press I. Novikov, V. Frolov, Physics of Black Holes, Springer E. Poisson, C.M. Will, Gravity, Cambridge University Press Per la parte propedeutica di GR: S. Carroll, Spacetime and Geometry, An Introduction to General Relativity, Addison & Wesley S. Weinberg, Gravitation and Cosmology, Wiley & Sons A. Einstein, L. Infeld, Evolution of physics Landau-Liftschitz, The Classical Theory of Fields B. F. Schutz, A first course in general relativity, Cambridge University Press

Questo corso avanzato di gravita' e' dedicato essenzialmente all'acquisizione di conoscenze piu' approfondite delle predizioni della Relativita' Generale, e le lezioni saranno in gran parte frontali. Ci saranno alcune esercitazioni in cui verranno sviluppati ulteriormente argomenti trattati a lezione, e seminari che illustreranno alcuni aspetti osservativi riguardanti fenomeni astrofisici in cui la Relativita' Generale gioca un ruolo importante. Nell'eventualità del protrarsi dell'emergenza COVID-19, il corso si svolgerà a distanza. Tutte le informazioni sul corso sono disponibili sul sito web http://www.roma1.infn.it/teongrav/onde.html

I. Onde Gravitazionali: 1. Richiami sulle proprieta' delle onde gravitazionali 2. Radiazione di quadrupolo 2. TT-gauge, calcolo della luminosita' gravitazionale di una sorgente II. Astrofisica delle Onde Gravitazionali: 1. Stelle di neutroni rapidamente rotanti, spin down gravitazionale 2. Pulsar binarie relativistiche 3. Coalescenza di sistemi binari 4. Cenni sui rivelatori di onde gravitazionali III. Struttura delle stelle degeneri: 1. Nane bianche 2. Stelle di neutroni 3. Equazioni della struttura stellare in relativita' generale 4. Criteri di stabilita' 5. Soluzione di Schwarzschild per stelle a densita' costante. 6. Teorema di Buchdal. 7. Soluzione delle equazioni di Einstein per un corpo isolato e stazionario nel "far field limit". 8. Precessione geodetica e di Lense-Thirring dello spin di un giroscopio IV. Buchi neri: 1. Richiami sulla soluzione di Schwarzschild - Ringdown di un buco nero 2. Coordinate di Kruskal 3. Soluzione di Kerr: singolarita', orizzonti, ergosfera. 4. Geodetiche nella metrica di Kerr. 5. Processo di Penrose. V. Principi variazionali ed equazioni di Einstein. Il corso si divide essenzialmente in tre parti. Nella prima parte, dedicata alla generazione e alla rivelazione delle onde gravitazionali, verra’ sviluppato il formalismo di quadrupolo che consente di calcolare le forme d'onda emesse da una sorgente in regime di piccole velocita' e campo debole. Si mostrera’ come tener conto della reazione di radiazione quando un sistema astrofisico emette onde gravitazionali e quali conseguenze questa comporti sull'evoluzione della sorgente e sulle forme d'onda emesse. In particolare si studieranno i sistemi binari formati da stelle di neutroni e buchi neri prossimi alla coalescenza, mettendo a fuoco le caratteristiche principali dei segnali che sono stati rivelati da LIGO e Virgo in anni recenti; si studiera’ inoltre l’emissione gravitazionale di stelle di neutroni rotanti. Nella seconda parte del corso verranno descritte le fasi finali dell'evoluzione di una stella, mostrando come queste siano diverse a seconda della massa della stella progenitrice. Si passera’ quindi a studiare la struttura di una nana bianca, che richiede l’uso della teoria Newtoniana della gravita’, e si introdurra’ il concetto di massa critica. Per descrivere la struttura delle stelle di neutroni e’ invece necessario utilizzare la Relatività Generale e quindi il primo passo sara’ mostrare come vadano modificate le equazioni della Termodinamica in questo ambito. Quindi si mostrerà come si derivano le equazioni della struttura stellare a partire dalle equazioni di Einstein e come si risolvono. La terza parte del corso riguarda lo studio della soluzione di buco nero rotante, la soluzione di Kerr, e dei complessi fenomeni che avvengono nelle vicinanze di questi oggetti celesti. In particolare verra’ studiata la struttura dello spazio tempo di un buco nero rotante, la presenza di singolarità di curvatura, di orizzonti degli eventi, e dell’ergoregion. Verranno studiate le geodetiche di corpi massivi e a massa nulla nella geometria di Kerr e i fenomeni associati, quale ad esempio il processo di Penrose per l’estrazione di energia da un buco nero. In ultimo, a completamento del percorso di studio della Relatività Generale, si mostrera’ come le equazioni di Einstein si possano derivare attraverso un formalismo variazionale.

Per poter seguire con profitto questo corso e' indispensabile conoscere le basi della teoria della relativita' generale di Einstein. Questa materia viene insegnata nel corso di relatività’ generale. Si segnalano i seguenti testi su cui eventualmente colmare la mancanza di conoscenze a riguardo: V. Ferrari, L. Gualtieri, P. Pani, General Relativity and its Applications, CRC Press S. Carrol, Spacetime and Geometry, an Introduction to General Relativity, Addison & Wesley S. Weinberg, Gravitation and Cosmology, Wiley & Sons Einstein-Infeld - "Evolution of physics" Landau-Liftschitz “The Classical Theory of Fields” B. F. Schutz, A first course in general relativity, Cambridge University Press Poisson-Will "Gravity", Cambridge University Press

V. Ferrari, L. Gualtieri, P. Pani, General Relativity and its Applications, CRC Press M. Maggiore, Gravitational Waves Vol I and II, Oxford University Press I. Novikov, V. Frolov, Physics of Black Holes, Springer E. Poisson, C.M. Will, Gravity, Cambridge University Press Per la parte propedeutica di GR: S. Carroll, Spacetime and Geometry, An Introduction to General Relativity, Addison & Wesley S. Weinberg, Gravitation and Cosmology, Wiley & Sons A. Einstein, L. Infeld, Evolution of physics Landau-Liftschitz, The Classical Theory of Fields B. F. Schutz, A first course in general relativity, Cambridge University Press

Questo corso avanzato di gravita' e' dedicato essenzialmente all'acquisizione di conoscenze piu' approfondite delle predizioni della Relativita' Generale, e le lezioni saranno in gran parte frontali. Ci saranno alcune esercitazioni in cui verranno sviluppati ulteriormente argomenti trattati a lezione, e seminari che illustreranno alcuni aspetti osservativi riguardanti fenomeni astrofisici in cui la Relativita' Generale gioca un ruolo importante. Nell'eventualità del protrarsi dell'emergenza COVID-19, il corso si svolgerà a distanza. Tutte le informazioni sul corso sono disponibili sul sito web http://www.roma1.infn.it/teongrav/onde.html

La frequenza è facoltativa ma fortemente consigliata

Nella valutazione si terra' conto di: - correttezza e completezza dei concetti esposti; - chiarezza e rigore espositivo; - capacità di sviluppo analitico della teoria.

V. Ferrari, L. Gualtieri, P. Pani, General Relativity and its Applications, CRC Press M. Maggiore, Gravitational Waves Vol I and II, Oxford University Press I. Novikov, V. Frolov, Physics of Black Holes, Springer E. Poisson, C.M. Will, Gravity, Cambridge University Press Per la parte propedeutica di GR: S. Carroll, Spacetime and Geometry, An Introduction to General Relativity, Addison & Wesley S. Weinberg, Gravitation and Cosmology, Wiley & Sons A. Einstein, L. Infeld, Evolution of physics Landau-Liftschitz, The Classical Theory of Fields B. F. Schutz, A first course in general relativity, Cambridge University Press

Questo corso avanzato di gravita' e' dedicato essenzialmente all'acquisizione di conoscenze piu' approfondite delle predizioni della Relativita' Generale, e le lezioni saranno in gran parte frontali. Ci saranno alcune esercitazioni in cui verranno sviluppati ulteriormente argomenti trattati a lezione, e seminari che illustreranno alcuni aspetti osservativi riguardanti fenomeni astrofisici in cui la Relativita' Generale gioca un ruolo importante. Nell'eventualità del protrarsi dell'emergenza COVID-19, il corso si svolgerà a distanza. Tutte le informazioni sul corso sono disponibili sul sito web http://www.roma1.infn.it/teongrav/onde.html

PART I (Gravitational waves, 16 hrs) 1. General information about the course. Primer on gravitational waves. Generation of gravitational waves: solution of the wave equation in the weak-field and low-velocity approximation. 2. Virial theorem. Quadrupole formula. Projection on the transverse-traceless (TT) gauge. Quadrupole moment of a harmonic oscillator. 3. Gravitational waves emitted by a harmonic oscillator. Gravitational waves emitted by a binary system in circular orbit. 4. Gravitational waves emitted by a triaxial ellipsoid rigidly rotating about one of its symmetry axes (model for a rotating star). Ellipsoid rigidly rotating about an axis that is not a symmetry axis: wobble angle and reference frames. 5. Gravitational waves emitted by an ellipsoid rigidly rotating about an axis that is not a symmetry axis. Stress-energy pseudotensor. 6. Gravitational wave energy flux. Gravitational-wave luminosity. Oblateness: the spin-down limit and the limit yielded by gravitational-wave detectors. 7. Gravitational-wave-driven evolution of a binary system: calculation of the separation, frequency, and period as a function of time for quasi-circular orbits. Gravitational wave emitted during the quasi-circular inspiral stage of a binary system. 8. The PSR 1913+16 plot. Gravitational-wave detectors (https://www.youtube.com/watch?v=0MGmQ9pPyA4). Analysis of GW150914, the first direct detection of gravitational waves: the inspiral, merger and ringdown epochs, inferring the chirp mass from the inspiral, arguing the objects are extremely compact, explaining the spin of the remnant black hole. Gravitational-wave catalog (https://waveview.cardiffgravity.org, https://catalog.cardiffgravity.org) PART II (Compact stars , 14 hrs) 9. Introduction to compact objects. Newtonian stellar structure equations and definition of equation of state. Stellar evolution. White dwarfs. Started the solution of the general case of equation of state for a fully degenerate fermionic gas. 10. Fully degenerate fermionic gas. Non-relativistic and ultra-relativistic limits: polytropic equations of state. Started the general case of question of state for a fully degenerate fermionic gas. 11. Completed the general case of question of state for a fully degenerate fermionic gas. The Chandrasekhar mass limit for white dwarfs from energy arguments. General-relativistic thermodynamics of perfect fluids: locally inertial comoving frame (LICF), baryon number conservation law. 12. First law of thermodynamics. Barotropic equation of state. Stress-energy tensor of a perfect fluid; isentropic fluid and relativistic Euler equation. 13. Tolman-Oppenheimer-Volkoff stellar structure equations. Boundary conditions to numerically integrate the Tolman-Oppenheimer-Volkoff equations; stellar radius. 14. Stellar gravitational mass and its interpretation. Buchdahl's theorem. Compact star equilibrium configurations and their stability. 15. The neutron star equation of state. The structure of neutron stars. Neutron star observations. Tidal deformability. PART III (Black Holes, 30 hrs) 16. Singularities in General Relativity, how to remove a coordinate singularity, extension of the manifold. An example: Rindlet's spacetime. Removing the r=2M singularity of the Schwarzschild metric. Maximal extension. Kruskal coordinates. Kruskal diagram. Eddington-Finkelstein coordinates and diagram. Eternal vs astrophysical BHs, white holes. 17. Non-coordinate basis. Fermi's coordinates, non-coordinate basis. The silhouette of a BH, BH shadows, light emitted by a static source near a BH, escape angle. 18. Basic aspects of black-hole perturbation theory; scalar toy model, spherical harmonic decomposition; ringdown & quasinormal modes (QNMs) of a Schwarzschild BH. Few words on gravitational perturbations. Numerical methods to find the QNMs. 19. Tidal deformability of a neutron star and tidal Love numbers. Impact on the waveform and implications for the constraints on the equation of state. Tidal Love numbers of a BH in GR. 20. Metric of an isolated and stationary source in the "far field" limit in the case of a weak gravitational field. Few words on the general case. Physical interpretation of M and J in the metric using the pseudotensor. Introduction to the Lense-Thirring effect and geodesic precession. Further kinematical test of gravity with the Gravity Probe B experiment. 21. The Kerr solution. Boyer Linquist coordinates. Main properties of the Kerr metric. 22. Horizons and ergoregion of the Kerr metric. Frame dragging. Static and stationary observers. 23. How to remove the horizon singularity in Kerr. Kerr coordinates and Kerr-Schild coordinates. Principal null geodesics in Kerr. Curvature singularity in Kerr. 24. The interior of a Kerr BH, Maximal extension of Kerr. Causality violation in the interior. Geodesics in Kerr. 25. Geodesics in the Kerr metric: integrability and Carter's constant. Equatorial geodeiscs. Equatorial Null geodesics, light ring of a Kerr BH. 26. Equatorial Timelike geodesics, Keplerian frequency. ISCO of a Kerr BH. 27. Energy/angular mom extraction from a Kerr BH: Penrose's process; Superradiance. 28. BH thermodynamics. Irriducible mass and area of a Kerr BH. BH Area theorem. 29. The laws of BH thermodynamics. BH entropy. Generalized second law. 30. Hawking evaporation and information loss paradox. Q&A session, examples of written test

Il corso General Relativity.

Ferrari, Gualtieri, Ferrari – General Relativity and its Applications: Black Holes, Compact Stars and Gravitational Waves, CRC Press

Non obbligatoria.

The exam consists of an oral test, which covers the entire syllabus of the course. The oral test will start with a list of questions/problems to be answered in written form as if they were oral questions. No books or notes are allowed during the test, but the written questions will come with some relevant equations. Following this first part, there will be an individual oral test.

Lezioni frontali alla lavagna, a volte con l'ausilio di materiale multimediale.

PART I (Gravitational waves, 16 hrs) 1. General information about the course. Primer on gravitational waves. Generation of gravitational waves: solution of the wave equation in the weak-field and low-velocity approximation. 2. Virial theorem. Quadrupole formula. Projection on the transverse-traceless (TT) gauge. Quadrupole moment of a harmonic oscillator. 3. Gravitational waves emitted by a harmonic oscillator. Gravitational waves emitted by a binary system in circular orbit. 4. Gravitational waves emitted by a triaxial ellipsoid rigidly rotating about one of its symmetry axes (model for a rotating star). Ellipsoid rigidly rotating about an axis that is not a symmetry axis: wobble angle and reference frames. 5. Gravitational waves emitted by an ellipsoid rigidly rotating about an axis that is not a symmetry axis. Stress-energy pseudotensor. 6. Gravitational wave energy flux. Gravitational-wave luminosity. Oblateness: the spin-down limit and the limit yielded by gravitational-wave detectors. 7. Gravitational-wave-driven evolution of a binary system: calculation of the separation, frequency, and period as a function of time for quasi-circular orbits. Gravitational wave emitted during the quasi-circular inspiral stage of a binary system. 8. The PSR 1913+16 plot. Gravitational-wave detectors (https://www.youtube.com/watch?v=0MGmQ9pPyA4). Analysis of GW150914, the first direct detection of gravitational waves: the inspiral, merger and ringdown epochs, inferring the chirp mass from the inspiral, arguing the objects are extremely compact, explaining the spin of the remnant black hole. Gravitational-wave catalog (https://waveview.cardiffgravity.org, https://catalog.cardiffgravity.org) PART II (Compact stars , 14 hrs) 9. Introduction to compact objects. Newtonian stellar structure equations and definition of equation of state. Stellar evolution. White dwarfs. Started the solution of the general case of equation of state for a fully degenerate fermionic gas. 10. Fully degenerate fermionic gas. Non-relativistic and ultra-relativistic limits: polytropic equations of state. Started the general case of question of state for a fully degenerate fermionic gas. 11. Completed the general case of question of state for a fully degenerate fermionic gas. The Chandrasekhar mass limit for white dwarfs from energy arguments. General-relativistic thermodynamics of perfect fluids: locally inertial comoving frame (LICF), baryon number conservation law. 12. First law of thermodynamics. Barotropic equation of state. Stress-energy tensor of a perfect fluid; isentropic fluid and relativistic Euler equation. 13. Tolman-Oppenheimer-Volkoff stellar structure equations. Boundary conditions to numerically integrate the Tolman-Oppenheimer-Volkoff equations; stellar radius. 14. Stellar gravitational mass and its interpretation. Buchdahl's theorem. Compact star equilibrium configurations and their stability. 15. The neutron star equation of state. The structure of neutron stars. Neutron star observations. Tidal deformability. PART III (Black Holes, 30 hrs) 16. Singularities in General Relativity, how to remove a coordinate singularity, extension of the manifold. An example: Rindlet's spacetime. Removing the r=2M singularity of the Schwarzschild metric. Maximal extension. Kruskal coordinates. Kruskal diagram. Eddington-Finkelstein coordinates and diagram. Eternal vs astrophysical BHs, white holes. 17. Non-coordinate basis. Fermi's coordinates, non-coordinate basis. The silhouette of a BH, BH shadows, light emitted by a static source near a BH, escape angle. 18. Basic aspects of black-hole perturbation theory; scalar toy model, spherical harmonic decomposition; ringdown & quasinormal modes (QNMs) of a Schwarzschild BH. Few words on gravitational perturbations. Numerical methods to find the QNMs. 19. Tidal deformability of a neutron star and tidal Love numbers. Impact on the waveform and implications for the constraints on the equation of state. Tidal Love numbers of a BH in GR. 20. Metric of an isolated and stationary source in the "far field" limit in the case of a weak gravitational field. Few words on the general case. Physical interpretation of M and J in the metric using the pseudotensor. Introduction to the Lense-Thirring effect and geodesic precession. Further kinematical test of gravity with the Gravity Probe B experiment. 21. The Kerr solution. Boyer Linquist coordinates. Main properties of the Kerr metric. 22. Horizons and ergoregion of the Kerr metric. Frame dragging. Static and stationary observers. 23. How to remove the horizon singularity in Kerr. Kerr coordinates and Kerr-Schild coordinates. Principal null geodesics in Kerr. Curvature singularity in Kerr. 24. The interior of a Kerr BH, Maximal extension of Kerr. Causality violation in the interior. Geodesics in Kerr. 25. Geodesics in the Kerr metric: integrability and Carter's constant. Equatorial geodeiscs. Equatorial Null geodesics, light ring of a Kerr BH. 26. Equatorial Timelike geodesics, Keplerian frequency. ISCO of a Kerr BH. 27. Energy/angular mom extraction from a Kerr BH: Penrose's process; Superradiance. 28. BH thermodynamics. Irriducible mass and area of a Kerr BH. BH Area theorem. 29. The laws of BH thermodynamics. BH entropy. Generalized second law. 30. Hawking evaporation and information loss paradox. Q&A session, examples of written test

Il corso General Relativity.

Ferrari, Gualtieri, Ferrari – General Relativity and its Applications: Black Holes, Compact Stars and Gravitational Waves, CRC Press

Non obbligatoria.

The exam consists of an oral test, which covers the entire syllabus of the course. The oral test will start with a list of questions/problems to be answered in written form as if they were oral questions. No books or notes are allowed during the test, but the written questions will come with some relevant equations. Following this first part, there will be an individual oral test.

Lezioni frontali alla lavagna, a volte con l'ausilio di materiale multimediale.