Matematica

- Introduzione alla teoria della probabilità. Assiomi e regole di corrispondenza. - Spazi di probabilità discreti, eventi e loro operazioni. - Calcolo combinatorio: disposizioni, combinazioni, con e senza ripetizione. Coefficienti binomiali e multinomiali. - Principio di inclusione esclusione ed applicazione al problema di accoppiamento. - Spazi di probabilità prodotto. Eventi indipendenti. Schemi di Bernoulli. - Distribuzione binomiale, multinomiale e ipergeometrica. - Probabilità condizionate. Formule delle probabilità composte, delle probabilità totali e di Bayes. - Successioni di eventi crescenti e decrescenti. σ-additività e proprietà di continuità della probabilità. - Passeggiata aleatoria. Problema della rovina del giocatore. - Variabili aleatorie discrete: distribuzione, valore di attesa, varianza e covarianza. - Variabili aleatorie indipendenti. - Variabili aleatorie di Bernoulli e binomiali. - Variabile geometrica e sua perdita di memoria, variabile binomiale negativa. - Somma di variabili aleatorie indipendenti. - Variabile di Poisson come limite di binomiali. - Distribuzioni congiunte, marginali e condizionate. - Diseguaglianza di Chebyshev e legge debole dei grandi numeri. - Valore di attesa condizionato e sua interpretazione geometrica. - Variabili aleatorie continue: densità di probabilità, funzione di distribuzione, valore di attesa e varianza. - Variabile aleatoria uniforme. Rappresentazione di Skorohood. - Variabile esponenziale come limite di geometriche. - Variabili aleatorie gaussiane. Teorema di De Moivre Laplace sull'approssimazione della distribuzione binomiale con la gaussiana.

Il corso richiede familiarità con gli argomenti del corso di "Algebra Lineare" e con il corso di "Calcolo" (insiemi, classi di equivalenza, funzioni, derivate integrali). Queste conoscenze sono indispensabili. Non ci sono propedeuticità.

F. Caravenna, P. Dai Pra: Probabilità (Springer) S. Ross: Probabilità. (Apogeo) F. Spizzichino, G. Nappo: Introduzione al calcolo delle probabilità. (Appunti) Sarà distribuito materiale didattico relativo agli esercizi.

Lezioni frontali (60%), svolgimento di esercizi (40%).

La frequenza alle lezioni e alle esercitazioni non è obbligatoria, ma è consigliata.

L’esame mira a valutare l’apprendimento tramite una prova scritta (consistente nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni) e una prova orale (consistente nella discussione dei temi più rilevanti illustrati nel corso). La prova scritta avrà una durata di circa 3 ore e può essere sostituita da 2 prove intermedie, la prima delle quali si svolgerà a metà corso e la seconda immediatamente a fine corso. Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti in programma e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati. Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di raccordarli in modo logico e coerente.

A. N. Shiryaev: Probability. W. Feller: An Introduction to Probability Theory and its Applications.

Lezioni frontali (60%), svolgimento di esercizi (40%).

Esperimenti casuali. Spazio degli esiti (o spazio dei campioni). Eventi e operazioni insiemistiche. Leggi di De Morgan. Definizione di misura di probabilità. Misura uniforme su spazi degli esiti finiti e calcolo combinatorio. Proprietà e primi teoremi relativi alle probabilità di unioni di eventi e di inclusione fra eventi. Probabilità condizionata: legge delle probabilità composte; probabilità totali. Teorema di Bayes. Indipendenza di due eventi e in una famiglia di eventi. Variabili aleatorie discrete. Distribuzioni di probabilità discrete e densità di probabilità discreta (o funzione di massa). Cenni sulla funzione di ripartizione. Variabili aleatorie due dimensionali. Densità congiunte di due variabili aleatorie definite sullo stesso spazio e densità marginali. Distribuzioni condizionate. Indipendenza tra variabili aleatorie ed eredità della proprietà di indipendenza per trasformazioni di variabili aleatorie. Caratterizzazione dell’indipendenza per variabili aleatorie discrete tramite la densità di probabilità discreta. Valore atteso e propriet` a di linearit`a. Valore atteso condizionato. Teorema sul valore atteso del valore atteso condizionato. Varianza e covarianza. Varianza ottenuta dal valore atteso condizionato. Calcolo della varianza per la somma di variabili aleatorie. Coefficiente di correlazione e sue proprietà. L’esistenza del momento k-esimo implica l’esistenza del momento di ordine inferiore. Teorema di continuità della misura (senza dimostrazione). Variabili aleatorie speciali: Variabile aleatoria di Bernoulli, binomiale, uniforme, ipergeometrica, geometrica, di Pascal (o Bernoulli negativa). Per tutte le variabili aleatorie menzionate si ` e calcolato valore atteso e varianza. Assenza di memoria per la variabile aleatoria geometrica. Minimo fra variabili aleatorie geometriche indipendenti ` e ancora una v.a. geometrica. Successioni di lettere indipendenti e variabili aleatorie geometriche. Variabile aleatoria di Poisson: definizione e prime proprietà. Approssimazione della Binomiale tramite la Poisson. Somma di Poisson indipendenti. Somma di un numero N ∼ Poi(λ) di Bernoulli indipendenti di parametro p. Distribuzione di una Poisson condizionata alla somma di Poisson (collegamento con la binomiale). Funzione generatrice delle probabilità e funzione generatrice dei 1momenti o trasformata di Laplace (cenni del loro utilizzo senza dimostrazioni complete). Disuguaglianza di Markov. Disuguaglianza di Chebyshev. Legge debole dei grandi numeri. Variabile aleatoria uniforme (su un intervallo) e metodo Monte Carlo per calcolare gli integrali (si ` e visto solo per integrali in una dimensione). Cenni sulla distribuzione Gaussiana. Somma di Gaussiane indipendenti. Uso delle tavole Gaussian e standardizzazione di una variabile aleatoria. Cenni al Teorema del limite centrale. Uso dell’approssimazione normale attraverso due tipologie di esercizi. Statistica. Definizione di stimatore. Stimatori non distorti. Stimatore non distorto per media. Stimatore non distorto per varianza nei casi di media nota o ignota. Definizione di intervallo di confidenza. Regressione lineare (cenni senza dimostrazione).

I prerequisiti sono la matematica che si insegna alle scuole secondarie superiori e la matematica che gli studenti hanno appreso nel primo semestre del primo anno di studi universitari nel corso di Laurea in Matematica.

Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze. Autore Sheldon Ross CALCOLO DELLE PROBABILITA' 2/ED Autore Paolo Baldi

E' fortemente consigliata la frequenza del corso per avere un maggior coinvolgimento sia nell'apprendimento della parte teorica che nella soluzione degli esercizi proposti.

Gli studenti per passare l'esame dovranno superare una prova scritta che consiste in esercizi e problemi da risolvere usando le conoscenze e le abilità sviluppate durante il corso. Coloro che superano la prova scritta possono richiedere di fare l'orale per migliorare il voto e dovranno esporre gli aspetti teorici presentati a lezione.

Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze. Autore S. Ross CALCOLO DELLE PROBABILITA' 2/ED Autore Paolo Baldi

Le lezioni sono separate in parte teorica e a seguire esempi ed esercizi relativi ai teoremi dimostrati. La parte di esercizi scritti sarà incentivata dando degli esercizi settimanali sui quali gli studenti possono esercitarsi e che verranno successivamente corretti in classe.

Dal programma dello scorso anno Piccole modifiche saranno possibili in vista del fatto che il corso sarà tenuto principalmente da un altro docente (l'altro docente sarà il vincitore di un concorso che si terrà a breve) Introduzione alla teoria della probabilità. (1 h) Assiomi e regole di corrispondenza. (2h) - Spazi di probabilità discreti, eventi e loro operazioni. (3 h) - Calcolo combinatorio: disposizioni, combinazioni, con e senza ripetizione (3h) . Coefficienti binomiali e multinomiali. (3h) - Principio di inclusione esclusione ed applicazione al problema di accoppiamento. (4h) - Spazi di probabilità prodotto. Eventi indipendenti (2h). Schemi di Bernoulli. (1h) - Distribuzione binomiale (1h), multinomiale (1h) e ipergeometrica (1h). - Probabilità condizionate (2h). Formule delle probabilità composte, delle probabilità totali e di Bayes (3h). - Successioni di eventi crescenti e decrescenti. σ-additività e proprietà di continuità della probabilità (2h). - Numeri di occupazione: modelli multinomiale, di Maxwell-Boltzmann, di Bose-Einstein e di Fermi-Dirac (4h) - Variabili aleatorie discrete: distribuzione , valore atteso, varianza e covarianza (6h). - Variabili aleatorie indipendenti (2h). - Variabili aleatorie di Bernoulli e binomiali, Ipergeometriche (3h) - Variabile geometrica e sua perdita di memoria , variabile binomiale negativa (3h). - Somma di variabili aleatorie indipendenti (2h). - Variabile di Poisson come limite di binomiali (2h). - Distribuzioni congiunte, marginali e condizionate (4h). - Trasformazioni di variabili aleatorie discrete (2h) - Somme aleatorie di variabili aleatorie indipendenti (2h) - Diseguaglianza di Chebyshev e legge debole dei grandi numeri (4h). - Valore atteso condizionato (3h) e sua interpretazione geometrica (2h). - Variabili aleatorie continue: densità di probabilità, funzione di distribuzione, valore atteso e varianza (4h). - Variabile aleatoria uniforme (2h). Rappresentazione di Skorohod (1h). - Variabile esponenziale come limite di geometriche (2h). - Variabili aleatorie gaussiane (2h). - Trasformazioni di variabili aleatorie continue (1h) - Approssimazione normale e Teorema centrale del limite (2h). - Catene di Markov, probabilità di transizione, distribuzioni invarianti e teorema ergodico (senza dimostrazione) (3h)

Il corso richiede familiarità con gli argomenti del corso di "Algebra Lineare" e con il corso di "Calcolo" (insiemi, classi di equivalenza, funzioni, derivate integrali, serie geometrica e serie esponenziale). Queste conoscenze sono indispensabili. Non ci sono propedeuticità.

I testi adottati lo scorso a.a. 2023-24 ATTENZIONE Piccole modifiche saranno possibili in vista del fatto che il corso sarà tenuto principalmente da un altro docente (l'altro docente sarà il vincitore di un concorso che si terrà a breve) F. Spizzichino, G. Nappo: Introduzione al calcolo delle probabilità. (Appunti disponibili sul sito e-learning del corso) si consiglia anche Berger, Caravenna, Dai Pra: Probabilità (Springer) (per gli studenti della Sapienza è disponibile gratuitamente un file pdf al link https://link.springer.com/book/10.1007/978-88-470-4006-9) Altro materiale didattico sarà a disposizione sulla piattaforma e-learning "Sapienza" con Moodle

Lezioni frontali (60%), svolgimento di esercizi (40%). Qualora le regole sanitarie lo rendano necessario, le lezioni (almeno in parte) si svolgeranno a distanza. Il materiale didattico sarà a disposizione sulla piattaforma e-learning "Sapienza" con Moodle.

La frequenza non è obbligatoria, ma è consigliata

L’esame mira a valutare l’apprendimento tramite una prova scritta (consistente nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni) e una prova orale (consistente nella discussione del compito e dei temi più rilevanti illustrati nel corso). Se si supera la prova scritta (ottenendo almeno 18/30) si viene ammessi alla prova orale. Qualora le condizioni sanitarie lo rendano necessario, la prova scritta, o parte di esse, potrebbe essere sostituita da esercizi da svolgere a casa e da discutere all’esame orale. Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Il voto viene valutato per il 50% con il voto dello scritto e per il 50% con il voto dell'orale. Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti in programma e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati. Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di raccordarli in modo logico e coerente.

S. Ross: Probabilità. (Apogeo) A. N. Shiryaev: Probability. W. Feller: An Introduction to Probability Theory and its Applications.

Lezioni frontali (60%), svolgimento di esercizi (40%). Qualora le regole sanitarie lo rendano necessario, le lezioni (almeno in parte) si svolgeranno a distanza. Ulteriori dettagli e il materiale didattico sarnno a disposizione sulla piattaforma e-learning "Sapienza" con Moodle.