Matematica

1. Spazi metrici: Definizione di spazio metrico. Successioni in spazi metrici: successioni convergenti, successioni di Cauchy, completezza. Teorema delle contrazioni. Insiemi aperti, chiusi; compattezza e compattezza per successioni. Funzioni continue fra spazi metrici, uniforme continuità. 2. Successioni e serie di funzioni: Convergenza puntuale e uniforme, continuità del limite uniforme di funzioni continue e risultati di passaggio al limite sotto al segno di integrale e di derivata. Compattezza in C^0 e teorema di Ascoli-Arzelà. Richiami sui numeri complessi. Serie di potenze in campo reale e complesso, raggio di convergenza, convergenza sul bordo. Sviluppo di Taylor e serie di Taylor, funzioni analitiche reali. Polinomi trigonometrici e serie di Fourier. 3. Equazioni differenziali ordinarie: Teorema di esistenza e unicità per le equazioni differenziali ordinarie. Equazioni a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del primo ordine e del secondo ordine a coefficienti costanti. Metodo di somiglianza.

Benché non ci siano prerequisiti formali previsti, il corso richiede familiarità con i principali argomenti affrontati nei corsi di base di Calcolo I e di Algebra Lineare, in particolare con i seguenti concetti numero reale, successione, limite, funzione reale di variabile reale, spazio vettoriale.

Testi consigliati: [1] E. GIUSTI, Analisi Matematica 2. Bollati Boringhieri (1989). [2] M. GIAQUINTA, G. MODICA, Mathematical Analysis: Linear and Metric Structures and Continuity. Birkauser Boston (2007). [3] M. GIAQUINTA, G. MODICA, Mathematical Analysis: Approximation and Discrete Processes. Birkauser Boston (1999). [4] W. RUDIN, Principles of mathematical analysis, McGraw Hill (1976).

La partecipazione alle lezioni è consigliata, ma non obbligatoria.

L’esame mira a valutare l’apprendimento tramite una prova scritta, che consiste nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni in aula e/o assegnati come carico di lavoro per casa, e una prova orale di discussione dei temi più rilevanti affrontati nel corso. La prova scritta può essere sostituita da due prove intermedie. La prova orale è sconsigliata a chi ha una valutazione inferiore a 18 nella prova scritta oppure a chi ha una media sulle prove intermedie inferiore a 16. Per superare l’esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Per raggiungere tale risultato lo studente deve dimostrare di aver acquisito una manualità discreta nell’uso dei concetti introdotti nelle unità didattiche del corso, di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati e di aver capito ed assimilato le principali definizioni e gli enunciati dei principali risultati trattati a lezione. Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una ottima familiarità con gli strumenti di calcolo presentati, una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso e di essere in grado di rielaborarli in modo logico e coerente per produrre dimostrazioni rigorose di piccoli problemi o generalizzazioni.

Lezioni frontali in aula (60%), svolgimento in aula di esercizi (40%)

Il programma del corso è ripartito approssimativamente in tre blocchi didattici, di circa 4 settimane di durata. Ogni unità didattica comprende una parte di teoria e le relative sessioni di esercitazioni come lezioni frontali. Durante lo svolgimento delle lezioni sarà data particolare attenzione allo sviluppo delle seguenti competenze: - formalizzazione del ragionamento astratto, - capacità di analisi e sintesi, - risolvere problemi, - comunicazione orale e scritta. Spazi metrici (28h). Definizione di spazio metrico ed esempi. Metrica discreta, metrica euclidea e altre metriche in R, Q, metrica discreta. Spazio elle-piccolo 2, spazio delle funzioni continue. Successioni in spazi metrici: successioni convergenti, successioni di Cauchy, completezza e completamento. Funzioni continue fra spazi metrici. Successioni definite per ricorrenza e teorema delle contrazioni. Topologia negli spazi metrici: insiemi aperti, chiusi; compattezza e compattezza per successioni (teorema di caratterizzazione). Successioni e serie di funzioni (28h). Convergenza puntuale e uniforme, continuità del limite uniforme di funzioni continue e risultati di passaggio al limite sotto al segno di integrale e di derivata. Criterio di Cauchy uniforme per le serie di funzioni. Convergenza totale e criterio di Weierstrass. Teoremi di integrazione e derivazione per serie. Compattezza nello spazio delle funzioni continue, equilipschitzianità, equicontinuità ed equilimitatezza di famiglie di funzioni continue, teorema di Ascoli-Arzelà. Serie di potenze in campo reale e complesso, raggio di convergenza, convergenza sul bordo. Sviluppo di Taylor e serie di Taylor, funzioni analitiche reali. Equazioni differenziali (28h). Teorema di esistenza e unicità per le equazioni differenziali ordinarie. Equazioni a variabili separabili. Intervallo massimale di definizione e teorema di esistenza globale. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine, struttura dell’insieme delle soluzioni delle equazioni omogenee e non omogenee. Integrale generale delle equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee a coefficienti costanti. Metodo di somiglianza per la risoluzione delle equazioni differenziali lineari del secondo ordine non omogenee a coefficienti costanti.

Non sono previsti esami propedeutici, comunque il corso richiede familiarità con i principali argomenti affrontati nei corsi di base di Calcolo I e di Algebra Lineare, in particolare con i seguenti concetti numero reale, successione, limite, funzione reale di variabile reale, spazio vettoriale.

Le note a cura dei proff. E.Montefusco e E.Spadaro saranno rese disponibili all'inizio del corso.

La partecipazione alle lezioni è consigliata, ma non obbligatoria.

L’esame mira a valutare l’apprendimento tramite una prova scritta, che consiste nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni in aula e/o assegnati come carico di lavoro per casa, e una prova orale di discussione dei temi più rilevanti affrontati nel corso. La prova scritta avrà una durata di due ore e può essere sostituita da due o tre prove intermedie, entrambe della durata di due ore. La prova orale è sconsigliata a chi ha una valutazione inferiore a 18 nella prova scritta oppure a chi ha una media sulle prove intermedie inferiore a 16. Per superare l’esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Per raggiungere tale risultato lo studente deve dimostrare di aver acquisito una manualità discreta nell’uso dei concetti introdotti nelle unità didattiche del corso, di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati e di aver capito ed assimilato le principali definizioni e gli enunciati dei principali risultati trattati a lezione. Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una ottima familiarità con gli strumenti di calcolo presentati, una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso e di essere in grado di rielaborarli in modo logico e coerente per produrre dimostrazioni rigorose di piccoli problemi o generalizzazioni.

N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Lezioni di Analisi Matematica 2 , Zanichelli W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw Hill E.Giusti, Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri

Lezioni frontali in aula (60%), svolgimento in aula di esercizi (40%)