Matematica

L’equazione della corda vibrante 1. Modello microscopico: catene di oscillatori. 2. La lagrangiana per l’equazione delle onde; equazioni del moto; condizioni al contorno. 3. Formula di D’Alembert. Soluzione fondamentale. 3. Equazione forzata e formula di Duhamel. 4. Serie di Fourier. Il metodo di Fourier con applicazioni a vari problemi al contorno. Distribuzioni 1. Spazio delle funzioni fondamentali; distribuzioni. 2. Esempi, funzione δ di Dirac, operazioni sulle distribuzioni. 3. La soluzione fondamentale come soluzione in senso generalizzato. L'equazione d'onda in dimensione due e tre 1. Membrana vibrante, condizioni al contorno e loro significato fisico. Equazioni di Maxwell. 2. Problemi ben posti ed unicità delle soluzioni regolari. 3. Serie di Fourier in più dimensioni; l'equazione delle onde in domini rettangolari e soluzione per serie. 4. La funzione di Green e le formule di Kichhoff e Poisson. 5. Cono di influenza e dominio di dipendenza; principio di Huygens. 6. Pacchetto d’onda; velocità di fase e velocità di gruppo. Introduzione alla teoria del potenziale 1. L’equazione per il potenziale elettrostatico/newtoniano, equazioni di Laplace e Poisson. 2. Soluzione fondamentale dell'operatore di Laplace. Funzioni di Green in dimensione 2 e 3 e loro interpretazione fisica. 3. Identità di Green. 4. Funzioni armoniche e loro proprietà. 5. Separazione delle variabili. 6. Problema di Laplace nel disco con dato continuo al bordo: derivazione della formula di Poisson con il metodo di Fourier. 8. Funzione di Green in domini limitati e sue proprietà. Metodo delle cariche immagine. Formula di Poisson per il problema di Laplace nella palla in tre dimensioni con dato continuo al bordo. 9. Potenziale generato da una distribuzione di carica: l'equazione di Poisson nello spazio in dimensione due e tre. Equazione del calore 1. Leggi di conservazione in forma divergenza; legge di Fourier. 2. La funzione di Green per l’equazione del calore. 3. Il principio del massimo parabolico; l’unicità della soluzione in domini limitati e in tutto lo spazio. 4. Il metodo di Fourier per l'equazione del calore in domini limitati. Comportamento asintotico delle soluzioni. 5. Dalla passeggiata casuale simmetrica all'equazione del calore. Appendici 1. Introduzione alla trasformata di Fourier. 2. Trasformata di Fourier nello spazio di Schwartz e sue proprietà. Esempi. 3. Trasformata di Fourier di una distribuzione. 4. Calcolo delle soluzioni fondamentali con la trasformata di Fourier.

Il corso richiede la conoscenza di concetti e metodi di base dei corsi di Meccanica Razionale, Analisi Matematica II, Analisi Reale ed Algebra Lineare acquisiti nei primi due anni della laurea triennale.

- Dispense del corso disponibili in rete (http://www1.mat.uniroma1.it/~butta/didattica/note_FM.pdf) - S. Salsa, Equazioni a Derivate Parziali: Metodi, Modelli e Applicazioni. Milano, Springer, 2010.

Lezioni frontali (60% circa), esempi e esercizi (40% circa).

La frequenza alle lezioni è fortemente consigliata per una buona comprensione dei contenuti del corso.

L’esame è una prova orale, che consiste nella discussione di alcuni tra gli argomenti più rilevanti illustrati nel corso e nella risoluzione di un semplice esercizio. Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti del programma e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi trattati. Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di esporli in modo logico e coerente.

- V.I. Arnold, Lectures on Partial Differential Equations (Coll. Universitext). Berlin: Springer 2004. - L.C. Evans, Partial Differential Equations. Providence: A.M.S. 2004. - A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin, Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale. Mosca: MIR 1980. - V.I. Smirnov, Corso di Matematica Superiore Vol. II. Roma: Editori Riuniti 1977. - A.N. Tichonov, A.A. Samarskij, Equazioni della fisica matematica. Mosca: MIR 1981. - S. Vladimirov, Equazioni della Fisica Matematica. Mosca: MIR 1987.

Lezioni frontali (60% circa), esempi e esercizi (40% circa).

L’equazione della corda vibrante 1. Modello microscopico: catene di oscillatori. 2. La lagrangiana per l’equazione delle onde; equazioni del moto; condizioni al contorno. 3. Formula di D’Alembert. Soluzione fondamentale. 3. Equazione forzata e formula di Duhamel. 4. Serie di Fourier. Il metodo di Fourier con applicazioni a vari problemi al contorno. Distribuzioni 1. Spazio delle funzioni fondamentali; distribuzioni. 2. Esempi, funzione δ di Dirac, operazioni sulle distribuzioni. 3. La soluzione fondamentale come soluzione in senso generalizzato. L'equazione d'onda in dimensione due e tre 1. Membrana vibrante, condizioni al contorno e loro significato fisico. Equazioni di Maxwell. 2. Problemi ben posti ed unicità delle soluzioni regolari. 3. Serie di Fourier in più dimensioni; l'equazione delle onde in domini rettangolari e soluzione per serie. 4. La funzione di Green e le formule di Kichhoff e Poisson. 5. Cono di influenza e dominio di dipendenza; principio di Huygens. 6. Pacchetto d’onda; velocità di fase e velocità di gruppo. Introduzione alla teoria del potenziale 1. L’equazione per il potenziale elettrostatico/newtoniano, equazioni di Laplace e Poisson. 2. Soluzione fondamentale dell'operatore di Laplace. Funzioni di Green in dimensione 2 e 3 e loro interpretazione fisica. 3. Identità di Green. 4. Funzioni armoniche e loro proprietà. 5. Separazione delle variabili. 6. Problema di Laplace nel disco con dato continuo al bordo: derivazione della formula di Poisson con il metodo di Fourier. 8. Funzione di Green in domini limitati e sue proprietà. Metodo delle cariche immagine. Formula di Poisson per il problema di Laplace nella palla in tre dimensioni con dato continuo al bordo. 9. Potenziale generato da una distribuzione di carica: l'equazione di Poisson nello spazio in dimensione due e tre. Equazione del calore 1. Leggi di conservazione in forma divergenza; legge di Fourier. 2. La funzione di Green per l’equazione del calore. 3. Il principio del massimo parabolico; l’unicità della soluzione in domini limitati e in tutto lo spazio. 4. Il metodo di Fourier per l'equazione del calore in domini limitati. Comportamento asintotico delle soluzioni. 5. Dalla passeggiata casuale simmetrica all'equazione del calore. Appendici 1. Introduzione alla trasformata di Fourier. 2. Trasformata di Fourier nello spazio di Schwartz e sue proprietà. Esempi. 3. Trasformata di Fourier di una distribuzione. 4. Calcolo delle soluzioni fondamentali con la trasformata di Fourier.

Il corso richiede la conoscenza di concetti e metodi di base dei corsi di Meccanica Razionale, Analisi Matematica II, Analisi Reale ed Algebra Lineare acquisiti nei primi due anni della laurea triennale.

- Dispense del corso disponibili in rete (http://www1.mat.uniroma1.it/~butta/didattica/note_FM.pdf) - S. Salsa, Equazioni a Derivate Parziali: Metodi, Modelli e Applicazioni. Milano, Springer, 2010.

Lezioni frontali (60% circa), esempi e esercizi (40% circa).

La frequenza alle lezioni è fortemente consigliata per una buona comprensione dei contenuti del corso.

L’esame è una prova orale, che consiste nella discussione di alcuni tra gli argomenti più rilevanti illustrati nel corso e nella risoluzione di un semplice esercizio. Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti del programma e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi trattati. Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di esporli in modo logico e coerente.

- V.I. Arnold, Lectures on Partial Differential Equations (Coll. Universitext). Berlin: Springer 2004. - L.C. Evans, Partial Differential Equations. Providence: A.M.S. 2004. - A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin, Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale. Mosca: MIR 1980. - V.I. Smirnov, Corso di Matematica Superiore Vol. II. Roma: Editori Riuniti 1977. - A.N. Tichonov, A.A. Samarskij, Equazioni della fisica matematica. Mosca: MIR 1981. - S. Vladimirov, Equazioni della Fisica Matematica. Mosca: MIR 1987.

Lezioni frontali (60% circa), esempi e esercizi (40% circa).

Teoria elementare delle distribuzioni, delta di Dirac. Richiami sulle serie di Fourier. Introduzione alla trasformata di Fourier. Equazioni di Laplace e Poisson, proprieta' del potenziale, funzioni armoniche, principio del massimo e unicita'. Soluzione di problemi al contorno con il metodo della funzione di Green e con il metodo di Fourier. Altri problemi fisici che conducono alle equazioni di Laplace e Poisson. Derivazione dell'equazione della corda vibrante. Soluzione di D'Alembert, formula di Duhamel. Soluzione dell'equazione delle onde in dimensione uno in domini limitati con il metodo di Fourier. Soluzione dell'equazione delle onde in dimensione due e tre in tutto lo spazio. Equazioni di Maxwell nel vuoto, soluzione del problema di Cauchy, conservazione dell'energia, cenni ai campi radiativi. Legge di Fourier ed equazione del calore. Soluzione del problema di Cauchy in tutto lo spazio. Principio del massimo, unicita'. Soluzione dell'equazione del calore in domini limitati con il metodo di Fourier.

E' richiesta una buona conscenza degli argomenti svolti nei corsi di Analisi Matematica II e Analisi Reale.

P. Butta', Note del corso di Fisica Matematica, disponibili sul sito personale di P. Buttá S. Salsa, Equazioni a derivate parziali, Springer, 2010 A.N. Tichonov, A.A. Samarkij, Equazioni della fisica matematica, Mir, 1981 L.C. Evans, Partial Differential Equations, A.M.S., 2004 A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin, Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale, Mir, 1981 V.I. Smirnov, Corso di matematica superiore II, Ed. Riuniti, 1977 A. Teta, Appunti di Fisica Matematica, disponibili sul sito personale di A. Teta

La frequenza alle lezioni e' indispensabile per una buona comprensione dei contenuti del corso

Durante l'esame é richiesto allo studente di risolvere un esercizio del tipo di quelli risolti durante il corso e di discutere alcuni argomenti di teoria illustrati nel corso. Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti e di essere in grado di applicare i metodi appresi nel corso ai più semplici tra gli esempi trattati. Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di esporli in modo logico e coerente.

Lezioni frontali (60% circa), esempi e esercizi (40% circa).

Teoria elementare delle distribuzioni, delta di Dirac. Richiami sulle serie di Fourier. Introduzione alla trasformata di Fourier. Equazioni di Laplace e Poisson, proprieta' del potenziale, funzioni armoniche, principio del massimo e unicita'. Soluzione di problemi al contorno con il metodo della funzione di Green e con il metodo di Fourier. Altri problemi fisici che conducono alle equazioni di Laplace e Poisson. Derivazione dell'equazione della corda vibrante. Soluzione di D'Alembert, formula di Duhamel. Soluzione dell'equazione delle onde in dimensione uno in domini limitati con il metodo di Fourier. Soluzione dell'equazione delle onde in dimensione due e tre in tutto lo spazio. Equazioni di Maxwell nel vuoto, soluzione del problema di Cauchy, conservazione dell'energia, cenni ai campi radiativi. Legge di Fourier ed equazione del calore. Soluzione del problema di Cauchy in tutto lo spazio. Principio del massimo, unicita'. Soluzione dell'equazione del calore in domini limitati con il metodo di Fourier.

E' richiesta una buona conscenza degli argomenti svolti nei corsi di Analisi Matematica II e Analisi Reale.

P. Butta', Note del corso di Fisica Matematica, disponibili sul sito personale di P. Buttá S. Salsa, Equazioni a derivate parziali, Springer, 2010 A.N. Tichonov, A.A. Samarkij, Equazioni della fisica matematica, Mir, 1981 L.C. Evans, Partial Differential Equations, A.M.S., 2004 A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin, Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale, Mir, 1981 V.I. Smirnov, Corso di matematica superiore II, Ed. Riuniti, 1977 A. Teta, Appunti di Fisica Matematica, disponibili sul sito personale di A. Teta

La frequenza alle lezioni e' indispensabile per una buona comprensione dei contenuti del corso

Durante l'esame é richiesto allo studente di risolvere un esercizio del tipo di quelli risolti durante il corso e di discutere alcuni argomenti di teoria illustrati nel corso. Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti e di essere in grado di applicare i metodi appresi nel corso ai più semplici tra gli esempi trattati. Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di esporli in modo logico e coerente.

Lezioni frontali (60% circa), esempi e esercizi (40% circa).