PROBABILITA' I

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: acquisire conoscenze di base nella teoria della probabilità. Obiettivi specifici: Conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla teoria della probabilità su spazi finiti e numerabili, al concetto di vettore aleatorio discreto e al concetto di variabile aleatoria continua. Applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di risolvere semplici problemi di probabilità discreta, problemi inerenti vettori casuali discreti e numeri casuali rappresentati da variabili aleatorie continue. Lo studente sarà anche in grado di apprezzare il significato e le implicazioni dell`indipendenza e del condizionamento (nell’ambito di modelli discreti), comprendere il significato di alcuni teoremi limite fondamentali, quali la legge dei grandi numeri. Capacità critiche e di giudizio: lo studente avrà le basi per analizzare le analogie e le relazioni tra gli argomenti trattati e argomenti di analisi e combinatoria (acquisiti nei corsi di Analisi I e trattati nel corso di Fondamenti di Analisi Reale). Capacità comunicative: capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso relativo ad aspetti più specialistici di teoria della probabilità.

Canale 1
GUSTAVO POSTA Scheda docente

Programmi - Frequenza - Esami

Programma
- Introduzione alla teoria della probabilità. Assiomi e regole di corrispondenza. - Spazi di probabilità discreti, eventi e loro operazioni. - Calcolo combinatorio: disposizioni, combinazioni, con e senza ripetizione. Coefficienti binomiali e multinomiali. - Principio di inclusione esclusione ed applicazione al problema di accoppiamento. - Spazi di probabilità prodotto. Eventi indipendenti. Schemi di Bernoulli. - Distribuzione binomiale, multinomiale e ipergeometrica. - Probabilità condizionate. Formule delle probabilità composte, delle probabilità totali e di Bayes. - Successioni di eventi crescenti e decrescenti. σ-additività e proprietà di continuità della probabilità. - Passeggiata aleatoria. Problema della rovina del giocatore. - Variabili aleatorie discrete: distribuzione, valore di attesa, varianza e covarianza. - Variabili aleatorie indipendenti. - Variabili aleatorie di Bernoulli e binomiali. - Variabile geometrica e sua perdita di memoria, variabile binomiale negativa. - Somma di variabili aleatorie indipendenti. - Variabile di Poisson come limite di binomiali. - Distribuzioni congiunte, marginali e condizionate. - Diseguaglianza di Chebyshev e legge debole dei grandi numeri. - Valore di attesa condizionato e sua interpretazione geometrica. - Variabili aleatorie continue: densità di probabilità, funzione di distribuzione, valore di attesa e varianza. - Variabile aleatoria uniforme. Rappresentazione di Skorohood. - Variabile esponenziale come limite di geometriche. - Variabili aleatorie gaussiane. Teorema di De Moivre Laplace sull'approssimazione della distribuzione binomiale con la gaussiana.
Prerequisiti
Il corso richiede familiarità con gli argomenti del corso di "Algebra Lineare" e con il corso di "Calcolo" (insiemi, classi di equivalenza, funzioni, derivate integrali). Queste conoscenze sono indispensabili. Non ci sono propedeuticità.
Testi di riferimento
Q. Berger, F. Caravenna, P. Dai Pra: Probabilità (Springer) S. Ross: Probabilità. (Apogeo) F. Spizzichino, G. Nappo: Introduzione al calcolo delle probabilità. (Appunti) Sarà distribuito materiale didattico relativo agli esercizi.
Modalità insegnamento
Lezioni frontali (60%), svolgimento di esercizi (40%).
Frequenza
La frequenza alle lezioni e alle esercitazioni non è obbligatoria, ma è consigliata.
Modalità di esame
L’esame mira a valutare l’apprendimento tramite una prova scritta (consistente nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni) e una prova orale (consistente nella discussione dei temi più rilevanti illustrati nel corso). La prova scritta avrà una durata di circa 3 ore e può essere sostituita da 2 prove intermedie, la prima delle quali si svolgerà a metà corso e la seconda immediatamente a fine corso. Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti in programma e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati. Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di raccordarli in modo logico e coerente.
Bibliografia
A. N. Shiryaev: Probability. W. Feller: An Introduction to Probability Theory and its Applications.
Modalità di erogazione
Lezioni frontali (60%), svolgimento di esercizi (40%).
ALESSANDRA FAGGIONATO Scheda docente
Canale 2
LORENZO BERTINI MALGARINI Scheda docente
  • Codice insegnamento1022430
  • Anno accademico2025/2026
  • CorsoMatematica
  • CurriculumGenerale
  • Anno1º anno
  • Semestre2º semestre
  • SSDMAT/06
  • CFU9
  • Ambito disciplinareFormazione Matematica Modellistico-Computazionale