Scienze matematiche per l’intelligenza artificiale

Elementi di topologia in R^N. Funzioni di più variabili. Funzioni continue, derivate direzionali, differenziabilità e formula di derivazione delle funzioni composte. Teorema del differenziale totale, derivate seconde e teorema di Schwarz. Formula di Taylor in più variabili. Massimi e minimi liberi per funzioni di più variabili. Teorema di Dini o teorema delle funzioni implicite, estremi vincolati: teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Curve, parametrizzazioni e sostegno di una curva. Integrali curvilinei di una funzione scalare. Lavoro di un campo vettoriale. Rotore di un campo vettoriale, campi vettoriali irrotazionali. Campi vettoriali conservativi. Forme differenziali lineari chiuse ed esatte. Insiemi semplicemente connessi. Relazione tra campi conservativi e irrotazionali. Campi conservativi in domini con lacune. Misura di Lebesgue e integrale di Lebesgue in più variabili. Funzioni integrabili in senso improprio secondo Riemann e funzioni sommabili secondo Lebesgue. Integrali doppi e tripli e formule di riduzione. Cambiamento di variabili negli integrali doppi e tripli. Teorema di Guldino per il volume di solidi di rotazione. Convergenza, in varie norme, di successioni di funzioni. Convergenza di serie di funzioni con particolare attenzione alle serie di potenze. Superfici regolari. Piano tangente, versore normale e superfici orientabili. Area di superfici. Teorema di Guldino per l’area di superfici di rotazione. Integrali di superficie. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie .Formule di Gauss-Green. Divergenza e rotore di campi vettoriali nello spazio. Teoremi della divergenza e del rotore (di Stokes) nel piano e nello spazio. Richiami su equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Equazioni a variabili separabili, equazioni di Bernoulli, equazioni autonome. Problema di Cauchy: esistenza e unicità in piccolo, soluzione massimale, studio qualitativo di equazioni differenziali.

Il corso richiede familiarità con la teoria delle funzioni reali di variabile reale, sviluppata nel corso di "Analisi I" e con alcuni aspetti dell'Algebra Lineare affrontati nel corso di "Algebra Lineare e Strutture Algebriche". Non sono previste propedeuticità

Testi adottati N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Lezioni di analisi matematica due, Zanichelli 2020 P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica Due (vlumi 1-2), Zanichelli 2017

La partecipazione alle lezioni è consigliata, ma non obbligatoria.

L'esame mira a valutare l'apprendimento tramite una prova scritta (consistente nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni) e una prova orale (consistente nella discussione dei temi illustrati nel corso). La prova scritta avrà una durata di circa due ore e può essere sostituita da due prove intermedie, entrambe della durata di due ore, la prima delle quali si svolgerà a metà corso e la seconda immediatamente a fine corso. Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente dei principali argomenti trattati durante il corso, e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati. Per conseguire un punteggio pari a 30/30 con lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito un’ottima conoscenza di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di usarli in modo logico e coerente, oltre a saper svolgere correttamente gli esercizi assegnati.

Bibliografia di riferimento E. Giusti, Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri 1989. F. Lanzara, E. Montefusco, Esercizi svolti di Analisi Vettoriale e complementi di teoria, Edizioni LaDotta 1999

Lezioni di teoria (48 ore) ed esercitazioni (36 ore).