Ingegneria edile-architettura

PROGRAMMA provvisorio per l'A.A. 2024/25 Spazi euclidei a n dimensioni. Proprietà dello spazio R^n e definizioni di distanza (o metrica), di norma e di prodotto scalare. Cenni di topologia di R^n: intorni, insiemi aperti, chiusi, punti di accumulazione, punti isolati, punti di frontiera, chiusura di un insieme. Insiemi limitati, insiemi compatti, aperti connessi. Richiami di geometria euclidea e analitica nel piano e nello spazio: parallelismo e perpendicolarità fra vettori, rette e piani; equazioni cartesiane di cilindro, sfera, ellissoide, cono e paraboloide.  Curve parametriche. Motivazione fisica, definizione di curva in R^n, curve semplici, chiuse, di classe C^1, regolari e regolari a tratti; versore e retta tangente a una curva in un punto. Orientamento di una curva, cambiamento di parametro ammissibile e curve equivalenti. Lunghezza di una curva e rettificabilità delle curve di classe C^1. Esempi notevoli di curve. Introduzione alle funzioni reali di n variabili reali. Insieme di definizione e grafico di una funzione. Limiti di funzioni: definizioni, proprietà, metodi per il calcolo dei limiti nel caso di forme indeterminate mediante l’uso della condizione necessaria per l’esistenza di un limite data dal test su curve, e della condizione sufficiente mediante maggiorazioni. Funzioni continue: definizione e proprietà. Massimi e minimi assoluti, teorema di Weierstrass. Calcolo differenziale per funzioni reali di n variabili reali. Derivate parziali: definizione, proprietà e nozione di vettore gradiente. Derivate direzionali, direzioni di massima e di minima pendenza. Esempi di funzioni derivabili ma non continue (nel caso n>1) e di funzioni dotate di derivate direzionali in qualsiasi direzione ma non continue. Differenziabilità: definizione, significato geometrico, equazione del piano tangente, continuità delle funzioni differenziabili e teorema del differenziale totale. Teorema di derivazione delle funzioni composte e formula del gradiente per la rappresentazione della derivata direzionale di una funzione differenziabile. Derivate di ordine successivo: definizioni, matrice hessiana, teorema di Schwarz. Ottimizzazione per funzioni reali di n variabili reali. Estremi relativi e assoluti: condizione necessaria del primo ordine (teorema di Fermat) per gli estremi relativi, algoritmo per la determinazione del massimo e del minimo assoluto di una funzione di 2 variabili reali continua su un compatto. Condizione sufficiente e condizione necessaria del secondo ordine per i massimi e i minimi relativi per funzioni di 2 variabili reali: enunciati, procedura per la classificazione dei punti critici, studio dei casi “dubbi” in cui si ha il determinante della matrice hessiana nullo ed esempi notevoli. Cenni all’ottimizzazione per funzioni di 3 e più variabili reali. Integrali multipli. Domini normali nel piano: definizioni, misura e proprietà. Integrali doppi: introduzione, definizione, significato geometrico e proprietà notevoli. Formule di riduzione per gli integrali doppi su domini normali. Cambiamento di variabili negli integrali doppi e il caso delle coordinate polari. Esempi notevoli e l’integrazione di funzioni simmetriche o antisimmetriche rispetto ad una variabile in domini piani simmetrici rispetto agli assi cartesiani. Baricentro di domini piani. Cenni elementari sugli integrali tripli. Equazioni differenziali ordinarie (EDO): esempi notevoli e motivazioni applicative legate a vari modelli matematici in fisica e in ingegneria. EDO di ordine n: definizione di soluzione, integrale generale, forma normale, problema di Cauchy. EDO del primo ordine: teorema di esistenza e unicità locale della soluzione di un problema di Cauchy con esempi e controesempi; le equazioni differenziali a variabili separabili e l’algoritmo per la ricerca delle loro soluzioni. EDO lineari del primo ordine: integrale generale delle omogenee e di quelle in forma completa. EDO lineari di ordine n: teorema di esistenza e unicità locale della soluzione di un problema di Cauchy, struttura dell’integrale generale dell'equazione omogenea e di quella in forma completa, principio di sovrapposizione. EDO lineari del secondo ordine omogenee a coefficienti costanti: equazione caratteristica, integrale generale nei tre casi determinati dal discriminante dell’equazione caratteristica (discriminante positivo, nullo, negativo). EDO lineari del secondo ordine non omogenee a coefficienti costanti: struttura dell’integrale generale e ricerca di una soluzione particolare mediante il metodo di somiglianza. Forme differenziali lineari, campi vettoriali e integrali curvilinei. Integrale curvilineo di una funzione (int. curv. di prima specie): definizione e proprietà. Definizione di Forma Differenziale Lineare (FDL) esatta e caratterizzazione delle primitive di una FDL esatta su un connesso. Campi vettoriali conservativi, terminologia, motivazione fisica per le FDL, lavoro di un campo vettoriale ed esempi notevoli. Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare (int. curv. di seconda specie). Caratterizzazione delle FDL esatte. FDL di classe C^1 chiuse: rotore e campi irrotazionali. Tecniche per il calcolo delle primitive. FDL chiuse in aperti semplicemente connessi nel piano (solo cenni a dimensioni maggiori di 2). Locale esattezza di una forma chiusa. Bibliografia di riferimento: —N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Lezioni di analisi matematica due, Zanichelli, 2020; —P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica Due, Prima Parte, Zanichelli, 2018; —P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica Due, Seconda Parte, Zanichelli, 2018. Ulteriori testi: —M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli, 2009; —N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica 2 (versione semplificata per i nuovi corsi di laurea), Liguori Ed., 2003; —G. Crasta, A. Malusa, Matematica 2, Pitagora Editrice Bologna, 2004.

I prerequisiti culturali e curriculari necessari per il presente corso sono contenuti nel corso di Analisi Matematica 1. Saranno utili anche gli elementi di Algebra lineare e Geometria già acquisiti dagli studenti. I prerequisiti dettagliatamente consistono nella conoscenza delle funzioni reali di una variabile reale e nelle abilità relative al calcolo dei limiti, al calcolo differenziale, all’ottimizzazione e al calcolo integrale per le funzioni reali di una variabile reale.

—N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Lezioni di analisi matematica due, Zanichelli, 2020; —P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica Due, Prima Parte, Zanichelli, 2018; —P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica Due, Seconda Parte, Zanichelli, 2018.

Facoltativa

La prova scritta che ha la durata di 3 ore è suddivisa usualmente in 4 parti e ciascuna parte contiene una domanda sulle conoscenze teoriche e un esercizio per verificare le abilità acquisite. Le parti principalmente sono le seguenti: —Proprietà degli spazi euclidei a n dimensioni; curve parametriche; nozioni introduttive sulle funzioni reali di n variabili reali: limiti e calcolo differenziale; —Ottimizzazione per le funzioni reali di 2 variabili reali; —Integrazione: integrali doppi, integrali curvilinei, forme differenziali e campi vettoriali; —Equazioni differenziali ordinarie (EDO). Sono fornite agli studenti anche simulazioni di prove scritte d’esame. Lo studente può essere esonerato dalla prova orale se raggiunge la sufficienza sia nella verifica delle conoscenze teoriche (quesiti o domande teoriche) sia nelle abilità relative alla risoluzione degli esercizi, e non sussistono presupposti affinché la prova orale sia indispensabile per ulteriori approfondimenti da parte del docente. Lo studente può sempre richiedere di effettuare la prova orale anche nel caso in cui fosse stato esonerato. Il docente per incentivare la frequenza dei corsi offre la possibilità di partecipare a due prove scritte parziali di esonero. La prima delle due prove si tiene a metà del corso, sugli argomenti trattati nella prima parte, e la seconda si tiene alla fine del corso. A tale seconda prova sono ammessi tutti gli studenti che hanno superato, anche con riserva, la prima prova.

Ulteriori testi di riferimento: —M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli, 2009; —N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica 2 (versione semplificata per i nuovi corsi di laurea), Liguori Ed., 2003; —G. Crasta, A. Malusa, Matematica 2, Pitagora Editrice Bologna, 2004.

74 ore di lezione frontale ed esercitazioni tramite l’uso di lavagna interattiva digitale Flip, secondo l’orario pubblicato sul sito istituzionale del corso di studi. Ogni lezione frontale/tradizionale (in cui saranno trasferite agli studenti in maniera didatticamente interattiva le conoscenze teoriche) conterrà al suo interno esercitazioni in cui gli studenti saranno “allenati” dal docente nell’acquisizione delle abilità attese. Il docente bilancerà opportunamente didattica frontale ed esercitazioni per mantenere elevata l’attenzione degli studenti.