CALCOLO DELLE PROBABILITA'

Obiettivi formativi

Obiettivi generali: Acquisire conoscenza e capacità di applicazione di argomenti di base di probabilità e statistica. Obiettivi specifici: Assiomi e proprietà elementari delle probabilità. Variabili Aleatorie. Distribuzioni continue e discrete. Valori attesi. Introduzione all'inferenza statistica. Conoscenza e comprensione: Al termine del corso lo studente avrà acquisito le nozioni e i risultati di base relativi alla teoria della probabilità su spazi finiti e numerabili, al concetto di vettore aleatorio discreto e al concetto di variabile aleatoria continua. Applicare conoscenza e comprensione: Gli studenti che abbiano superato l’esame saranno in grado di applicare le nozioni di calcolo combinatorio per risolvere semplici problemi di probabilità discreta, problemi inerenti vettori casuali discreti e numeri casuali rappresentati da variabili aleatorie continue. Lo studente sarà anche in grado di apprezzare il significato e le implicazioni dell’indipendenza e del condizionamento (nell’ambito di modelli discreti), comprendere il significato di alcuni teoremi limite fondamentali, quali la legge dei grandi numeri. Capacità critiche e di giudizio: Lo studente avrà le basi per analizzare e costruire modelli probabilistici in semplici situazioni di interesse fisico, biologico e tecnologico, utilizzare tavole e software di simulazione delle leggi discrete di più comune applicazione, nonché della legge gaussiana, e di comprendere l’utilizzazione di strumenti statistici elementari nell’inferenza, nel campionamento statistico e nella simulazione. Capacità comunicative: Capacità di esporre i contenuti nella parte orale della verifica e negli eventuali quesiti teorici presenti nella prova scritta. Capacità di apprendimento: le conoscenze acquisite permetteranno uno studio, individuale o impartito in un corso relativo ad aspetti più specialistici di teoria della probabilità.

Canale 1
GIOVANNA NAPPO Scheda docente

Programmi - Frequenza - Esami

Programma
Introduzione alla teoria della probabilità. (1 h) Assiomi e regole di corrispondenza. (2h) - Spazi di probabilità discreti, eventi e loro operazioni. (3 h) - Calcolo combinatorio: disposizioni, combinazioni, con e senza ripetizione (3h) . Coefficienti binomiali e multinomiali. (3h) - Principio di inclusione esclusione ed applicazione al problema di accoppiamento. (4h) - Spazi di probabilità prodotto. Eventi indipendenti (2h). Schemi di Bernoulli. (1h) - Distribuzione binomiale (1h), multinomiale (1h) e ipergeometrica (1h). - Probabilità condizionate (2h). Formule delle probabilità composte, delle probabilità totali e di Bayes (3h). - Successioni di eventi crescenti e decrescenti. σ-additività e proprietà di continuità della probabilità (2h). - Numeri di occupazione: modelli Multinomiale, di Maxwell-Boltzmann, di Bose-Einstein e di Fermi-Dirac (4h) - Variabili aleatorie discrete: distribuzione (2h), valore atteso (2h), varianza (2h) e covarianza (1h). - Variabili aleatorie indipendenti (2h). - Variabili aleatorie di Bernoulli e binomiali (2h) . - Variabili aleatorie Ipergeometriche (1h) - Variabile geometrica (2h) e sua perdita di memoria(1h), variabile binomiale negativa (1h). - Somma di variabili aleatorie indipendenti (2h). - Variabile di Poisson (1h) come limite di binomiali (1h). - Distribuzioni congiunte, marginali e condizionate (4h). - Trasformazioni di variabili aleatorie discrete (2h) - Somme aleatorie di variabili aleatorie indipendenti (2h) - Disuguaglianza di Chebyshev, legge debole dei grandi numeri, (4h). - Valore atteso condizionato, retta di regressione (3h). - Variabili aleatorie continue: densità di probabilità, funzione di distribuzione, valore atteso e varianza (4h). - Variabile aleatoria uniforme (2h). Rappresentazione di Skorohod: simulazione a partire da variabili uniformi (1h). - Variabile esponenziale come limite di geometriche (2h). - Variabili aleatorie gaussiane (2h). - Trasformazioni di variabili aleatorie continue (1h) - Teorema Centrale del Limite (senza dimostrazione) , Approssimazione Normale, intervallo di fiducia (3h). - Catene di Markov e probabilità di transizione. Distribuzioni stazionarie. Teorema ergodico (senza dimostrazione) (2h)
Prerequisiti
Teoria elementare degli insiemi (importante); serie di uso comune (molto utile); calcolo di base in una e più variabili (indispensabile).
Testi di riferimento
F. Spizzichino, G. Nappo: Introduzione al calcolo delle probabilità. (Appunti disponibili sul sito e-learning del corso) Altro materiale didattico sarà a disposizione sulla piattaforma e-learning "Sapienza" con Moodle si consiglia anche S. M. Ross, Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze, Apogeo Education (disponibile in rete in inglese).
Frequenza
La frequenza non è obbligatoria, ma fortemente consigliata
Modalità di esame
L’esame mira a valutare l’apprendimento tramite una prova scritta (consistente nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni) e una prova orale (consistente nella discussione del compito e dei temi più rilevanti illustrati nel corso). Se si supera la prova scritta (ottenendo almeno 18/30) si viene ammessi alla prova orale. (ulteriori informazioni nella pagina e-learning/moodle del corso) Qualora le condizioni sanitarie lo rendano necessario, la prova scritta, o parte di esse, potrebbe essere sostituita da esercizi da svolgere a casa e da discutere all’esame orale. Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Il voto viene valutato per il 50% con il voto dello scritto e per il 50% con il voto dell'orale. Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti in programma e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati. Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di raccordarli in modo logico e coerente.
Bibliografia
S. Ross: Probabilità. (Apogeo) Berger, Caravenna, Dai Pra: Probabilità (Springer) per gli studenti della Sapienza un file pdf è disponibile gratuitamente on line https://link.springer.com/book/10.1007/978-88-470-4006-9
Modalità di erogazione
Lezioni (Hours): 54, Esericizi (Hours): 36.
GIOVANNA NAPPO Scheda docente

Programmi - Frequenza - Esami

Programma
Introduzione alla teoria della probabilità. (1 h) Assiomi e regole di corrispondenza. (2h) - Spazi di probabilità discreti, eventi e loro operazioni. (3 h) - Calcolo combinatorio: disposizioni, combinazioni, con e senza ripetizione (3h) . Coefficienti binomiali e multinomiali. (3h) - Principio di inclusione esclusione ed applicazione al problema di accoppiamento. (4h) - Spazi di probabilità prodotto. Eventi indipendenti (2h). Schemi di Bernoulli. (1h) - Distribuzione binomiale (1h), multinomiale (1h) e ipergeometrica (1h). - Probabilità condizionate (2h). Formule delle probabilità composte, delle probabilità totali e di Bayes (3h). - Successioni di eventi crescenti e decrescenti. σ-additività e proprietà di continuità della probabilità (2h). - Numeri di occupazione: modelli Multinomiale, di Maxwell-Boltzmann, di Bose-Einstein e di Fermi-Dirac (4h) - Variabili aleatorie discrete: distribuzione (2h), valore atteso (2h), varianza (2h) e covarianza (1h). - Variabili aleatorie indipendenti (2h). - Variabili aleatorie di Bernoulli e binomiali (2h) . - Variabili aleatorie Ipergeometriche (1h) - Variabile geometrica (2h) e sua perdita di memoria(1h), variabile binomiale negativa (1h). - Somma di variabili aleatorie indipendenti (2h). - Variabile di Poisson (1h) come limite di binomiali (1h). - Distribuzioni congiunte, marginali e condizionate (4h). - Trasformazioni di variabili aleatorie discrete (2h) - Somme aleatorie di variabili aleatorie indipendenti (2h) - Disuguaglianza di Chebyshev, legge debole dei grandi numeri, (4h). - Valore atteso condizionato, retta di regressione (3h). - Variabili aleatorie continue: densità di probabilità, funzione di distribuzione, valore atteso e varianza (4h). - Variabile aleatoria uniforme (2h). Rappresentazione di Skorohod: simulazione a partire da variabili uniformi (1h). - Variabile esponenziale come limite di geometriche (2h). - Variabili aleatorie gaussiane (2h). - Trasformazioni di variabili aleatorie continue (1h) - Teorema Centrale del Limite (senza dimostrazione) , Approssimazione Normale, intervallo di fiducia (3h). - Catene di Markov e probabilità di transizione. Distribuzioni stazionarie. Teorema ergodico (senza dimostrazione) (2h)
Prerequisiti
Teoria elementare degli insiemi (importante); serie di uso comune (molto utile); calcolo di base in una e più variabili (indispensabile).
Testi di riferimento
F. Spizzichino, G. Nappo: Introduzione al calcolo delle probabilità. (Appunti disponibili sul sito e-learning del corso) Altro materiale didattico sarà a disposizione sulla piattaforma e-learning "Sapienza" con Moodle si consiglia anche S. M. Ross, Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze, Apogeo Education (disponibile in rete in inglese).
Frequenza
La frequenza non è obbligatoria, ma fortemente consigliata
Modalità di esame
L’esame mira a valutare l’apprendimento tramite una prova scritta (consistente nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni) e una prova orale (consistente nella discussione del compito e dei temi più rilevanti illustrati nel corso). Se si supera la prova scritta (ottenendo almeno 18/30) si viene ammessi alla prova orale. (ulteriori informazioni nella pagina e-learning/moodle del corso) Qualora le condizioni sanitarie lo rendano necessario, la prova scritta, o parte di esse, potrebbe essere sostituita da esercizi da svolgere a casa e da discutere all’esame orale. Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Il voto viene valutato per il 50% con il voto dello scritto e per il 50% con il voto dell'orale. Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti in programma e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati. Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di raccordarli in modo logico e coerente.
Bibliografia
S. Ross: Probabilità. (Apogeo) Berger, Caravenna, Dai Pra: Probabilità (Springer) per gli studenti della Sapienza un file pdf è disponibile gratuitamente on line https://link.springer.com/book/10.1007/978-88-470-4006-9
Modalità di erogazione
Lezioni (Hours): 54, Esericizi (Hours): 36.
Canale 2
VITTORIA SILVESTRI Scheda docente

Programmi - Frequenza - Esami

Programma
Introduzione alla teoria della probabilità. (1 h) Assiomi e regole di corrispondenza. (2h) - Spazi di probabilità discreti, eventi e loro operazioni. (3 h) - Calcolo combinatorio: disposizioni, combinazioni, con e senza ripetizione (3h) . Coefficienti binomiali e multinomiali. (3h) - Principio di inclusione esclusione ed applicazione al problema di accoppiamento. (4h) - Spazi di probabilità prodotto. Eventi indipendenti (2h). Schemi di Bernoulli. (1h) - Distribuzione binomiale (1h), multinomiale (1h) e ipergeometrica (1h). - Probabilità condizionate (2h). Formule delle probabilità composte, delle probabilità totali e di Bayes (3h). - Successioni di eventi crescenti e decrescenti. σ-additività e proprietà di continuità della probabilità (2h). - Numeri di occupazione: modelli Multinomiale, di Maxwell-Boltzmann, di Bose-Einstein e di Fermi-Dirac (4h) - Variabili aleatorie discrete: distribuzione (2h), valore atteso (2h), varianza (2h) e covarianza (1h). - Variabili aleatorie indipendenti (2h). - Variabili aleatorie di Bernoulli e binomiali (2h) . - Variabili aleatorie Ipergeometriche (1h) - Variabile geometrica (2h) e sua perdita di memoria(1h), variabile binomiale negativa (1h). - Somma di variabili aleatorie indipendenti (2h). - Variabile di Poisson (1h) come limite di binomiali (1h). - Distribuzioni congiunte, marginali e condizionate (4h). - Trasformazioni di variabili aleatorie discrete (2h) - Somme aleatorie di variabili aleatorie indipendenti (2h) - Disuguaglianza di Chebyshev, legge debole dei grandi numeri, (4h). - Valore atteso condizionato, retta di regressione (3h). - Variabili aleatorie continue: densità di probabilità, funzione di distribuzione, valore atteso e varianza (4h). - Variabile aleatoria uniforme (2h). Rappresentazione di Skorohod: simulazione a partire da variabili uniformi (1h). - Variabile esponenziale come limite di geometriche (2h). - Variabili aleatorie gaussiane (2h). - Trasformazioni di variabili aleatorie continue (1h) - Teorema Centrale del Limite (senza dimostrazione) , Approssimazione Normale, intervallo di fiducia (3h). - Catene di Markov e probabilità di transizione. Distribuzioni stazionarie. Teorema ergodico (senza dimostrazione) (2h)
Prerequisiti
Teoria elementare degli insiemi (importante); serie di uso comune (molto utile); calcolo di base in una e più variabili (indispensabile).
Testi di riferimento
F. Spizzichino, G. Nappo: Introduzione al calcolo delle probabilità. (Appunti disponibili sul sito e-learning del corso) Altro materiale didattico sarà a disposizione sulla piattaforma e-learning "Sapienza" con Moodle si consiglia anche S. M. Ross, Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze, Apogeo Education (disponibile in rete in inglese).
Frequenza
La frequenza non è obbligatoria, ma fortemente consigliata
Modalità di esame
L’esame mira a valutare l’apprendimento tramite una prova scritta (consistente nella risoluzione di problemi dello stesso tipo di quelli svolti nelle esercitazioni) e una prova orale (consistente nella discussione del compito e dei temi più rilevanti illustrati nel corso). Se si supera la prova scritta (ottenendo almeno 18/30) si viene ammessi alla prova orale. (ulteriori informazioni nella pagina e-learning/moodle del corso) Qualora le condizioni sanitarie lo rendano necessario, la prova scritta, o parte di esse, potrebbe essere sostituita da esercizi da svolgere a casa e da discutere all’esame orale. Per superare l'esame occorre conseguire un voto non inferiore a 18/30. Il voto viene valutato per il 50% con il voto dello scritto e per il 50% con il voto dell'orale. Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente degli argomenti in programma e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati. Per conseguire un punteggio pari a 30/30 e lode, lo studente deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso ed essere in grado di raccordarli in modo logico e coerente.
Bibliografia
S. Ross: Probabilità. (Apogeo) Berger, Caravenna, Dai Pra: Probabilità (Springer) per gli studenti della Sapienza un file pdf è disponibile gratuitamente on line https://link.springer.com/book/10.1007/978-88-470-4006-9
Modalità di erogazione
Lezioni (Hours): 54, Esericizi (Hours): 36.
VITTORIA SILVESTRI Scheda docente
  • Codice insegnamento1020421
  • Anno accademico2025/2026
  • CorsoInformatica
  • CurriculumTecnologico
  • Anno2º anno
  • Semestre1º semestre
  • SSDMAT/06
  • CFU9
  • Ambito disciplinareAttività formative affini o integrative