Matematica

Cenni sui teoremi dei esistenza per equazioni differenziali ordinarie Problema di Cauchy per ODE e PDE Funzioni analitiche Teorema di Cauchy-Kovalevskaya, enunciato, superfici caratteristiche, idea della dimostrazione del teorema. Nozione di problema ben posto. Controesempio di Hadamard per il problema di Cauchy applicato all'equazione di Laplace Funzioni armoniche: principio di massimo, identità del valor medio, regolarità, lemma di Weyl, stime del gradiente, principio di massimo. Soluzioni fondamentali, funzioni di Green, nuclei di Poisson su Rn e sulla palla. Formula di Poisson, con dimostrazione per la palla. Funzioni subarmoniche in senso debole. Metodo di Perron per la soluzione del problema di Dirichlet, usando anche le barriere. Rimovibilità delle singolarità e non esistenza sul disco puntato. Spazi di Hilbert, principio di Dirichlet astratto, spazi di Sobolev W12 Lax-Milgram. Soluzioni di equazioni e sistemi ellittici. Regolarità L2: disuguaglianza di Caccioppoli, Rapporti incrementali (no dim), regolarità L2 di ordine alto (no dim, qualche risultato). Autofunzioni del Laplaciano (esistenza e completezza). Stime Lp: solo enunciato e controesempi (facoltativo). Cenni sul problema semilineare di Lane-Emden -\Delta u = u^p. Qualcosa sull'esistenza e regolarità, al variare di p. Equazione del calore in Rn. Soluzione fondamentale, formula di rappresentazione. Principio di massimo parabolico, unicità per l'equazione del calore in domini. Metodo delle autofunzioni del Laplaciano per il calore (qualche cenno). Curve shortening flow e flusso per curvatura media: solo definizioni. Equazioni iperboliche del prim'ordine. Equazione di Burgers

Analisi matematica, analisi funzionale, analisi reale.

Lecture notes di Clement Mouhot (per il teorema di Cauchy-Kovalevskaya, l'equazioni del trasporto e di Burgers) M. Giaquinta, L. Martinazzi: An introduction to the regularity theory for elliptic systems, harmonic maps and minimal graphs, seconda edizione, Edizioni della Normale (2012) F. Johns, Partial Differential Equations, Springer

Caldamente consigliata

Esame scritto e orale

Lezioni frontali ed esercizi per casa