Matematica

1)Insiemi ordinati: relazioni binarie, ordine, maggiorante, minorante, ordina- menti filtranti ascendenti o discendenti, lattice, ordine totale, buon ordinamento, esempi; assioma della scelta, principio del buon ordinamento, lemma di Zorn; equivalenza tra AC, Zorn, principio del buon ordinamento (sd); topologia, richiami sugli assiomi di numer- abilita` e relazioni. Topologia piu` debole e piu` forte tra una famiglia di topologie date su uno stesso insieme; separabilita`; net e successioni ordinarie. 2) net, sottonet, punto di accumulazione per un net; net universali e convergenza ai punti di accumulazione; esistenza dei net universali; 3) Filtro, net universale, esistenza di sottonet universali. Proprieta‘ di base di funzioni continue su compatti. Compattezza e definizioni equivalenti; proprieta` elementari; topologia debole; topologia prodotto. Teorema di Tychonoff. Commenti sui casi in cui AC non e‘ necessario, insieme di indici finito o numerabile. Propriet`a T2. Prodotto di spazi T2 `e T2. Compatto T2 `e T4. Prodotto numerabile di metrici compatti `e metrico compatto nella topologia prodotto. Cubo di Tychonoff. 4) I sottinsiemi del cubo di Tychonoff sono spazi metrici normali e a base numer- abile. Teorema (sd) Ogni spazio topologico normale a base numerabile e‘ omeomorfo ad un sottinsieme del cobo di Tychonoff, e dunque metrizzabile. E‘ compatto se e solo e‘ il sottinsieme e‘ chiuso. Relazioni tra topologia e net. Spazi normati; spazi di Banach, proprieta` di base; operatore lineare tra spazi normati, condizioni equivalenti di continuit`a. Spazio degli operatori lineari e limitati. Submoltiplicativita` della norma. Spazio normato quoziente. Operatore iniettivo associato ad un operatore lineare e limitato. Spazio di Banach quoziente. Se X `e normato, M e X/M sono di Banach, allora X `e di Banach. 5) Un sottospazio di dim finita in uno spazio normato `e di Banach. Estensione di un operatore densamente definito, richiami sul completamento di uno spazio metrico., realizzazione del completamento per uno spazio normato come immersione canonica nel biduale. Esempi vari di spazi normati e completamento di dimen- sione infinita, funzioni continue su uno spazio localmente compatto di Hausdorff, esempi con i prodotti infiniti. Teorema della categoria di Baire. 6) Teorema della applicazione aperta, continuit`a dell’inverso di un operatore lim- itato e biunivoco tra spazi di Banach; teorema del grafico chiuso; principio dell’uniforme limitatezza. 7) Applicazione allo spazio delle funzioni continue e periodiche in un intervallo; algebra di Fourier sul cerchio; esercizio sull’esistenza di funzioni non derivabili in alcun punto di un intervallo. Funzionale di Minkowski, estendibilit`a di funzionali; teorema di Hahn-Banach, esistenza di funzionali lineari e limitati su uno spazio normato che separano i punti. Estensione allo spazio quoziente. Annichilatore di un sottospazio. Isometria canonica di immersione nel biduale e relazione con quella del completamento. Relazione con la riflessivita`. 8) Esempi classici di spazi di Banach riflessivi. Dualit`a non degenere. Operatore aggiunto. Proprieta` algebriche. Isometria dell’aggiunto. Limitatezza automatica di un operatore lineare con aggiunto tra spazi di Banach. Esercizi su esempi classici di dualita` tra spazi di successioni. Topologia debole definita da una famiglia di seminorme; spazio vettoriale topologico; spazio vettoriale localmente convesso. Funzionali continui rispetto alla topologia definita da una dualit`a. Costruzione di funzionali di Minkowski in uno spazio vettoriale topologico. Equivalenza tra le due definizioni di SVTLC. 9) Esistenza di funzionali continui che separano i convessi in uno SVT (Forma geo- metrica del teorema di Hahn-Banach). Topologia debole di uno spazio normato, uguaglianza del duale rispetto alla topologia originaria; le due topologie hanno gli stessi convessi chiusi. Topologia ∗-debole del duale, calcolo del duale topologico. Teorema di Alaoglu. 10) Teorema di Alaoglu sequenziale, indipendenza dall’assioma della scelta; con- seguenze del teorema di Alaoglu: il disco unitario chiuso in norma di uno spazio di Banach e‘ debolmente compattto se e solo se lo spazio e‘ riflessivo (solo met`a dimostrazione). Es- istenza di sottosuccessioni ordinarie convergenti debolmente di successioni ordinarie lim- itate in norma in uno spazio di Banach riflessivo (Eberlein-Smulian, s.d.), esempio con Lp(X) con 1 < p < ∞. Non compattezza del disco unitario chiuso in norma di uno spazio normato di dimensione infinita. Esercizio sul calcolo del duale di un quoziente in uno spazio normato. Teorema di Krein-Milmann in SVLC. Punti e estremali. Esempi classici. 11) Integrale di Radon; estensione allo spazio L1 (sd). Cariche di Radon. Misure di Radon positive. Misure di probabilita` su uno spazio compatto di Hausdorff. Teorema di rappresentazione di Riesz (sd). Spazio di Banach delle misure. Caratterizzazione delle mis- ure positive di radon su un compatto di Hausdorff. Caratterizzazione delle misure estremali (s.d.). Per tesina: dimostrazione del teorema di caratterizzazione delle misure positive e dei punti estremali su un compatto di Hausdorff (Pedersen), Spazi di distribuzioni (Yosida). Spazio di Hilbert. Forme sesquilineari. Polarizzazione. Prodotto scalare. Cauchy-Schwarz. Parallelogramma. e caratterizzazione con la norma di prodotto scalare 12) Spazio prehilbertiano. Completamento. Costruzioni. Teorema della proiezione su un convesso chiuso. Caso del sottospazio chiuso. Teorema di rappresentazione di Riesz dei funzionali continui. Base ortonormale. Esistenza. Dimensione Hilbertiana. Relazione tra forme sesquilineari e operatori limitati. Operatore aggiunto. Propriet`a algebriche dell’aggiunto. Proprieta` C∗ della norma. 13) Operatori autoaggiunti. Nucleo dell’aggiunto. delimitazione dallo zero. Carat- terizzazione dell’invertibilit`a di un operatore limitato su spazio di Hilbert. Operatori nor- mali, positivi. Proprieta`. Costruzione della radice quadrata di un operatore positivo. Proiezioni ortogonali, operatori unitari, isometrie. 14) isometrie parziali, decomposizione polare, operatori di rango finito. Disco chiuso di uno spazio di Hilbert. Debole compattezza. Operatori compatti e varie caratterizzazioni. Operatori diagonalizzabili. Caratterizzazione della compattezza degli operatori diagonali. 15) Esistenza di autovalori di valore assoluto massimo per operatori compatti nor- mali. Calcolo della norma di un operator compatto normale (dim solo per operatori posi- tivi.). Diagonalizzabilit`a degli operatori compatti normali su spazio di Hilbert complesso. Algebra di Calkin. Perturbazione compatta di un operatore limitato. Teorema di Atkin- son. Operatori di Fredholm. Indice. Prodotto di operatori di Fredholm `e di Fredholm. Proprieta` di base. Esempi di operatori di Fredholm per ogni valore dell’indice. Alternativa di Fredholm. 16) Analogia tra B(H) e L∞(X). Traccia di un operatore positivo. Relazione tra la traccia e la compattezza. Operatori di classe traccia B1(H). Operatori di Hilbert-Schmidt B2(H). Posizione in B(H). Spettro di un operatore. 17) Struttura di spazio di Hilbert in B2(H). Stima della traccia di un prodotto. Proprieta` di traccia. Struttura di algebra di banach in B1(H). Dualita` tra operatori compatti, operatori di classe traccia e operatori limitati. 18) Dualita` tra operatori compatti, operatori di classe traccia e operatori limitati. Caratterizzazione degli operatori di Hilbert-Schmidt su L2(X). Equazioni integrali di Fredholm. Algebre di Banach. Ideali chiusi. Algebra quoziente. Aggiunta dell’identit`a. Esempi: C0 (X ), B0 (H ), L1 (Rn ), B(H ). Invertibilit`a degli elemento nel disco unitario aperto di I. Caso complesso. Spettro di un elemento. Funzione risolvente. Spettro del calcolo funzionale analitico di un elemento. 19) Spettro del calcolo funzionale analitico di un elemento. Non trivialita` dello spettro di un elemento di un’algebra di Banach complessa non nulla. Analiticita` della funzione risolvente. calcolo del raggio spettrale. Un’algebra di Banach unitale in cui ogni elemento non nullo `e invertibile, coincide con C. Spettro di un elemento in C(X), con X compatto di Hausdorff. Esercisio sullo spettro di AB e BA. Spettro puntuale, continuo e residuo di un elemento di B(X), con X spazio di Banach. Calcolo funzionale continuo per un operatore autoaggiunto su spazio di Hilbert. Introduzione alla trasformata di Gelfand. 20) Algebra di Banach complessa commutativa con I. Ideali massimali. caratteri. Spettro dell’algebra. Relazione tra lo spettro e lo spazio degli ideali massimali. Calcolo dello spettro di ogni elemento. Continuit`a automatica dei caratteri. Nucleo della trsfor- mata di Gelfand. Algebra semisemplice. Esempio con C(X), con X compatto di Hausdorff. Teorema di Gelfand-Naimark per algebre di Banach commutative con I. Teorema di Stone- Weierstrass. 21) Esempio: l1(Z). Calcolo dello spettro e identificazione della trasformata di Gelfand con la trasformata di Fourier. Algebra di Fourier (immagine della trasformata di Gelfand). C ∗ -algebra, definizione astratta. ∗ -algebra di Banach (algebra di Banach involutiva per cui la proprieta‘ C∗ della norma e‘ sostituita da ∥A∗∥ = ∥A∥ per ogni elemento A dell’algebra. Calcolo del raggio spettrale di un elemento normale di una C∗- alegbra. Elementi unitari (autoaggiunti) hanno spettro nel cerchio (reale). Teorema di Gelfand-Naimark per C∗-algebre commutative con I. Esercizio sulla densit`a uniforme dei polinomi trigonometrici nell’algebra delle funzioni continue e periodiche. Rappresentazione regolare di un’algebra di Banach. C∗-algebra con l’identit`a aggiunta. 22) Spettro di un elemento di una C∗-algebra priva di identita`. Teorema di Stone- Weierstrass per spazi topologici localmente compatti. Calcolo funzionale continuo per un operatore normale su una C∗-algebra. Invarianza dello spettro di un elemento normale rispetto alla C∗-algebra che lo contiene. Teorema di Gelfand-Naimark per C∗-algebre com- mutative pive di identit`a. Compattificazione di Stone-Check. Calcolo funzionale continuo concreto: Spettro degli operatori di shift e dei loro aggiunti. Calcolo dello spettro puntuale residuo e continuo. Operatori autoaggiunti hanno spettro reale. Trivialita` dello spettro residuo per operatori autoaggiunti su spazio di Hilbert. 23)Calcolo funzionale continuo. Teorema dello spectral mapping. Misure spet- trali. Vettore ciclico per un operatore autoaggiunto. Operatori privi di molteplicita` e teorema spettrale (realizzaziome mediante operatori di moltiplicazione). Costruzione di operatori normali con spettro arbitrario e una successione densa di autovalori; di operatori privi di autovalori con spettro la chiusura di un aperto limitato in C. I punti isolati nello spettro di un operatore normale sono autovalori. In questo caso, la funzione caratteristica `e continua. Operatori normali con spettro reale sono autoaggiunti; con spettro positivo sono positivi. Decomposizione di un operatore autoaggiunto come differenza di operatori positivi ortogonali. 24) Introduzione al calcolo funzionale boreliano. Topologia forte e debole di B(H). Un net crescente limitato di operatori autoaggiunti su spazio di Hilbert converge fortemente all’estremo superiore. Funzioni boreliane limitate su uno spazio localmente compatto di Hausdorff. Caratterizzazione della parte reale. Bicommutante di un operatore normale. Commutante di un sottinsieme autoaggiunto. Teorema del bicommutante di von Neumann (s.d.). Definizione di algebra di von Neumann in B(H). Il commutante di un insieme autoaggiunto di operatori `e un’algebra di von Neumann. Teorema sul calcolo funzionale boreliano per un operatore normale e discussione che assume valori nell’algebra di von Neumann dell’operatore (senza dim la propriet`a di omomorfismo). Famiglia spettrale a valori operatori. Esempio tramite il calcolo funzionale boreliano di un operatore normale. Da una misura spettrale alla famiglia spettrale e viceversa. Teorema spettrale per un operatore normale nella forma dell’integrale della funzione identica rispetto a una famiglia spettrale (per la teoria dell’integrazione a partire da una famiglia spettrale, solo enunciato). 25) Introduzione agli operatori illimitati densamente definiti. Dominio e grafico di un operatore densamente definito. Operatori chiusi e chiudibili. Caratterizzazione di un sottospazio di un prodotto cartesiano di spazi di Banach affinch ́e esso sia il grafico di un operatore. Operatori chiudibili e chiusura di un operatore. Esempio con gli operatori di derivazione id/dx in AC([0,1]) e operatore di moltiplicazione in L2(R). Aggiunto di un operatore tra spazi di Hilbert. Ogni operatore densamente definito tra spazi di Hilbert ha aggiunto chiuso. E` chiudibile se e solo se l’aggiunto `e densamente definito,, e l’aggiunto della chiusura `e l’aggiunto dell’operatore. Riassunto della dimostrazione. Relazione tra nucleo e immagine dell’aggiunto per un operatore chiudibile densamente definito. Spettro e risolvente di un operatore chiuso. Esempio con gli operatori differenziali in L2([a,b]) (cenni). Operatori simmetrici e autoaggiunti. Operatori essenzialmente auto-aggiunti. Criterio di base per autoaggiunzione e autoaggiunzione essenziale. Esempio con vari domini in AC[0, 1] ⊂ L2([0, 1]). Riassunto sulla non essenziale autoaggiunzione ed estensioni au- toaggiunte per il dominio f(0) = f(1) = 0. Cenni sul teorema di Stone per gruppi unitari ad un parametro fortemente continui e operatore autoaggiunto associato. Possibili approfondimenti Teorema sulla caratterizzazione degli stati estremali dell’algebra delle funzione continue su uno spazio topologico compatto di Hausdorff (Pedersen) Dettagli sugli operatori di Fredholm e connessioni con la teoria dell’indice di Atiyah- Singer (Pedersen per la parte analitica) Palais: Seminar on the Atiyah-Singer index theorem Gilkey: Invariant theory, the heat equation and the Atiyah-Singer index Theorem Operatori illimitati, come nella lezione del 1 giugno (Reed-Simon). Teorema di Stone (Reed-Simon) Teorema spettrale per operatori illimitati (Reed-Simon) Letture di approfondimento, per sviluppi futuri A. Connes: Noncommutative geometry

Conoscenze generali di topologia, teoria elementare degli spazi di Banach e loro applicazioni, di Hilbert, elementi di analisi complessa. I risultati preliminari necessari verranno rammentati a lezione.

1)J.B. Conway: A course in functional analysis. 2)S. Doplicher: Note del corso di Analisi Funzionale 3) G.K. Pedersen: Analysis Now, Springer 4) S. Doplicher: An invitation to Quantum Mechanics, Lecture notes on some mathematical aspects, March 2021 (chiedere a CP per il file). 5) M. Reed, B. Simon: Functional Analysis, I, 6)J. Dixmier: C∗-algebras 7)J. Dixmier: von Neumann algebras 8)R. Haag: Local Quantum Physics, Springer. 9)J.M. Gracia Bondia, J.C. Varilly, H. Figueroa: Elements of noncommutative geometry

Le lezioni consistono nella presentazione della teoria generale con i risultati piu’ importanti e relative dimostrazioni corredata da esempi mirati. Gli studenti saranno stimolati affinche’ possano sviluppare e acquisire capacita' di risoluzione dei problemi proposti.

La frequenza e’ fortemente consigliata.

Valutazione basata sulle domande poste alla prova orale su programma, eventuale argomento approfondito tra quelli proposti, eventuale risoluzione dei problemi proposti.

Le lezioni consistono nella presentazione della teoria generale con i risultati piu’ importanti e relative dimostrazioni corredata da esempi mirati. Gli studenti saranno stimolati affinche’ possano sviluppare e acquisire capacita' di risoluzione dei problemi proposti.